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MN42 :ANALYSE NUMERIQUE ETUTBM - GESC SIMULATIONSemestre d’Automne 2006 (18/01/07) Examen Final (dur´ee:2heures) Exercice 1 Soitfnuungadeeinperae(ofenu´dnoitcnn+1) points (x0, f(x0)),(x1, f(x1)). ., .(xn, f(xn)). Oncherche`ade´terminerlepolynˆomePn(xe´rgeded,)n, d’interpolation def(x) qui passe par cespointsenutilisantlam´ethodedeNewton. 1. Ecrirel’expression du coefficientanhsulpedegr´autdedePn(xlee´a,ppreneid´.eeidec)´siv 2.Donnerlarelationdere´curenceentrelepolynnˆomePn(xemo)ˆenylopeltPn1(xer´eged)d (n1) passant par lesnQuelle est la valeur depremiers points.P0(x). 3.Montrerpourlecasdetroispointsquelonalarelationsuivanteentrelesdie´rences divis´ees: f[x1, x2]f[x0, x1] f[x0, x1, x2] =. x2x0 4.Application:Construirelatabledesdi´erencesdivis´ees,puisd´eterminerlepolynˆome d’interpolation d’une fonctionfsuivl´eeaudant:dse´nnodbatelsnarlpaientsinpoes i0 1 23 xi3-2 -1 1 f(xi) 91 18 -2 186 Exercice 2 Soitf0e[llvaretnilruseunitnvie´peerime`eroccontinueetded´erenucnofnoit,rlou.P1]ntaoie´rgitn defsur [0,onsi,onc1]:readquturaumroedelre`dfale Z 1 0 f(x)dx=A1.f(0) +A2.f(0) +A3.f(α) (1) 0 0 o`uflad´eriveste`erede´peerimf,α]0,1[ etA1, A2, A3es.eellesr´snoctnatnossedt 1. CalculerA1, A2, A3etαa)tiellpsurgnaddegr´edelemuorafelquurpo1(noitarge´tnid pr´ecisionpossible. 2. Sinnorticispeuouo´vormurlaf),cale(1lrelucldruerreraegt´inontielestgrdede´e´epr n+1 pourf(x) =x. 3.Parunchangementdevariableconvenable,construirea`partirdelaformuledinte´gration (1),unedeuxie`meformulepourcalculersurunintervalle[a, b] quelconque Z b f(x)dx a 4.Enutilisantcettedeuxi`emeformule,calculerunevaleurapproche´epour Z 10 x exp()dx. 05 Calculerlavaleurexactedecetteinte´gralepuisdonnerlerreurabsoluecommise. 5.Onutilisemaintenantlame´thodedeSimpsoncompos´eepourcalculercetteinte´grale,pour cela on divise l’intervalle [0,10] enngeuadxlenouguerteinussos´lealrvhest la. Quelle valeur minimale deniuqnndoneeureerduretenuleobacel`elage´uoerueiref´inontiraegt´in en 4)
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