UTBM analyse numerique et simulation 2006 gesc mn42 genie electrique et systemes de commande semestre 1 final

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MN42 : ANALYSE NUMERIQUE ET UTBM - GESCSIMULATION Semestre d’Automne 2006(18/01/07)Examen Final(dur´ee: 2 heures)Exercice 1Soitf unefonctiond´efinieparunnuagede(n+1)points(x ,f(x )), (x ,f(x )), ... (x ,f(x )).0 0 1 1 n nOn cherche a` d´eterminer le polynˆome P (x), de ...

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MN42 :ANALYSE NUMERIQUE ETUTBM - GESC SIMULATIONSemestre d’Automne 2006 (18/01/07) Examen Final (dur´ee:2heures) Exercice 1 Soitfnuungadefieinperae(ofenu´dnoitcnn+1) points (x 0 , f(x 0 )),(x 1 , f(x 1 )). ., .(x n , f(x n )). Oncherche`ade´terminerlepolynˆomeP n (xe´rgeded,)n, d’interpolation def(x) qui passe par cespointsenutilisantlam´ethodedeNewton. 1. Ecrirel’expression du coefficienta n hsulpedegr´autdedeP n (xlee´a,ppreneid´ff.eeidec)´siv 2.Donnerlarelationdere´curenceentrelepolynnˆomeP n (xemo)ˆenylopeltP n−1 (xer´eged)d (n−1) passant par lesnQuelle est la valeur depremiers points.P 0 (x). 3.Montrerpourlecasdetroispointsquel’onalarelationsuivanteentrelesdiffe´rences divis´ees: f[x 1 , x 2 ]−f[x 0 , x 1 ] f[x 0 , x 1 , x 2 ] =. x 2 −x 0 4.Application:Construirelatabledesdiff´erencesdivis´ees,puisd´eterminerlepolynˆome d’interpolation d’une fonctionfsuivl´eeaudant:dse´nnodbatelsnarlpaiefintsinpoes i0 1 23 x i 3-2 -1 1 f(x i ) 91 18 -2 186 Exercice 2 Soitf0e[llvaretni’lruseunitnvie´peerime`eroccontinueetded´erenucnofnoit,rlou.P1]ntaoie´rgi’tn defsur [0,onsi,onc1]:readquturaumroedelre`dfale Z 1 0 f(x)dx=A 1 .f(0) +A 2 .f(0) +A 3 .f(α) (1) 0 0 o`uflad´eriveste`erede´peerimf,α∈]0,1[ etA 1 , A 2 , A 3 es.eellesr´snoctnatnossedt 1. CalculerA 1 , A 2 , A 3 etαa)tiellpsurgnaddegr´edelemuorafelquurpo1(noitarge´tni’d pr´ecisionpossible. 2. Sinnorticispeuouo´vormurlaf),cale(1’lrelucl’druerreraegt´inontielestgrdede´e´epr n+1 pourf(x) =x. 3.Parunchangementdevariableconvenable,construirea`partirdelaformuled’inte´gration (1),unedeuxie`meformulepourcalculersurunintervalle[a, b] quelconque Z b f(x)dx a 4.Enutilisantcettedeuxi`emeformule,calculerunevaleurapproche´epour Z 10 x exp(−)dx. 0 5 Calculerlavaleurexactedecetteinte´gralepuisdonnerl’erreurabsoluecommise. 5.Onutilisemaintenantlame´thodedeSimpsoncompos´eepourcalculercetteinte´grale,pour cela on divise l’intervalle [0,10] enngeuadxlenouguerteinussos´lealrvhest la. Quelle valeur minimale deniuqnndoneeureerd’uretenuleobacel`elage´uoerueiref´inontiraegt´in ◦ en 4)

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