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R. Herbach
final MQ 51
16 01 2006
Durée 2 heures, documents autorisés
A. Seuils de plasticité en première déformation.
Un matériau homogène isotrope de limite d’élasticité
k
en traction simple est soumis à une bi-
traction : σ
I
= 2 σ
II
et σ
III
= 0 dans les axes principaux.
A1) Donner σ
I
en fonction de
k
au seuil de plasticité en première déformation si le matériau
suit le critère de Von Misès (f = 0).
A2) Même question si le matériau suit le critère de Tresca.
B. Fissuration progressive.
On étudie la répartition des contraintes puis la propagation d’une fissure en déformations
planes selon la géométrie précisée figure 1. On rappelle que dans ce cas :
)
(
yy
xx
zz
σ
+
σ
ν
=
σ
.
B1) D’après le calcul des contraintes adimensionnelles pour
θ
=
π
/8 , et pour
25
,
0
=
ν
:
a)
représenter les contraintes sur un petit élément de matière, en prenant des facettes de
normales
y
x
e
,
e
.
b) tracer les trois cercles de Möhr,
c)
calculer et représenter les contraintes principales sur un petit élément de matière, dans
le même plan que pour la question a), et donner l’orientation
α
d’une direction
principale par rapport à
x
e
.
B2) En utilisant la définition de la scission octaédrale :
[
]
2
1
2
31
2
23
2
12
2
11
33
2
33
22
2
22
11
)
(
6
)
(
)
(
)
(
3
1
σ
+
σ
+
σ
+
σ
-
σ
+
σ
-
σ
+
σ
-
σ
=
τ
a) en déduire l’écriture de la scission octaédrale adimensionnelle pour le cas étudié,
b) en déduire l’écriture du critère de Von Misès lorsque f = 0,
B3) Le matériau est un acier 16 MND 5 dont les caractéristiques de fissuration ont été
mesurées dans l’air à 300°C et pour
R = 0,1
. Compte tenu de
R
1
)
R
(
f
-
=
la loi de Paris
n’est pas modifiée:
m
da
C K
dN
=
a)
d’après la figure 2, en déduire la valeur des constantes
C
et
m
du matériau dans le
domaine qui nous intéresse, en précisant les unités,
b)
on donne
m
MPa
135
K
Ic
=
,
c
0
a
10
1
a
=
, en déduire le nombre de cycles à
rupture dans l’air à 300°C si
σ
y
varie cycliquement de
0
à
200 MPa
.