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UTBM modelisation numerique pour l ingenieur 2 applications et codes industriels 2008 gm

4 pages
MN52 – Modélisation Numérique pour l’Ingénieur – Applications et Codes Industriels Final Printemps 2008 – F. Peyraut – R. Bolot NOTES DE COURS, TD ET TP AUTORISÉES TRANSFERT THERMIQUE CONDUCTIF Question 1 (0.25 point) : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x x xI II III⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟On considère un triangle T de sommets , et (fig. 1). Rappeler la N N NI II IIIy y y⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟I II III⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠formule de la transformation affine reliant ce triangle au triangle de référence ainsi que la formule donnant la surface S du triangle en fonction de la matrice Jacobienne. Question 2 (0.5 point) : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞a x a x a x⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟a I a II a IIIOn considère un triangle T de sommets , et où a est un a N N NI II III⎜a y ⎟ ⎜a y ⎟ ⎜a y ⎟I II III⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠nombre réel strictement positif. Montrer que T est bien un triangle, c’est-à-dire que les aa a asommets , et ne sont pas alignés. N N NI II III Question 3 (0.5 point) : Calculer la surface S du triangle T en fonction de la surface S du triangle T et du nombre a aréel a. Question 4 On considère un problème stationnaire de conduction de chaleur en 2D-axisymétrique dans un matériau isotrope de conductivité 10 W/(m °C). Le maillage est constitué de quatre éléments triangulaires E , E , E , E et de six nœuds N , N , N , N , N , N (fig. 2). La 1 2 3 4 1 2 3 4 5 63structure est soumise à une source interne de chaleur volumique uniforme q =100 W/m . Une température connue T est imposée aux nœuds 1, 2, 3, 4 et 6. En respectant la ...
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MN52 – Modélisation Numérique pour l’Ingénieur – Applications et Codes Industriels
Final Printemps 2008 – F. Peyraut – R. Bolot
NOTES DE COURS, TD ET TP AUTORISÉES
TRANSFERT THERMIQUE CONDUCTIF
Question 1 (0.25 point)
:
On considère un triangle T de sommets
,
et
(fig. 1). Rappeler la
formule de la transformation affine reliant ce triangle au triangle de référence ainsi que la
formule donnant la surface S du triangle en fonction de la matrice Jacobienne.
y
x
N
I
I
I
y
x
N
II
II
II
y
x
N
III
III
III
Question 2 (0.5 point)
:
On considère un triangle T
a
de sommets
,
et
où a est un
nombre réel strictement positif. Montrer que T
y
a
x
a
N
I
I
a
I
y
a
x
a
N
II
II
a
II
y
a
x
a
N
III
III
a
III
a
est bien un triangle, c’est-à-dire que les
sommets
,
et
ne sont pas alignés.
N
a
I
N
a
II
N
a
III
Question 3 (0.5 point)
:
Calculer la surface S
a
du triangle T
a
en fonction de la surface S du triangle T et du nombre
réel a.
Question 4
On considère un problème stationnaire de conduction de chaleur en
2D-axisymétrique
dans
un matériau isotrope de conductivité 10 W/(m °C). Le maillage est constitué de quatre
éléments triangulaires E
1
, E
2
, E
3
, E
4
et de six noeuds N
1
, N
2
, N
3
, N
4
, N
5
, N
6
(fig. 2). La
structure est soumise à une source interne de chaleur volumique uniforme
q
=100 W/m
3
. Une
température connue
T
est imposée aux noeuds 1, 2, 3, 4 et 6. En respectant la convention de
numérotation locale donnée sur la figure 3, calculer les températures aux noeuds du maillage
dans les deux cas suivants :
4a) 0.25 point :
;
;
;
;
;
;
1
1
N
1
2
1
N
2
3
1
N
3
3
0
N
4
2
0
N
5
1
0
N
6
T
= 5 °C
4b) 2.5 point :
;
;
;
;
;
;
a
a
N
1
2a
a
N
2
3a
a
N
3
3a
0
N
4
2a
0
N
5
a
0
N
6
T
= 5a
2
°C, a
étant un nombre réel strictement positif.
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