UTBM modelisation numerique pour l ingenieur 2 applications et codes industriels 2008 gm

Description

MN52 – Modélisation Numérique pour l’Ingénieur – Applications et Codes Industriels Final Printemps 2008 – F. Peyraut – R. Bolot NOTES DE COURS, TD ET TP AUTORISÉES TRANSFERT THERMIQUE CONDUCTIF Question 1 (0.25 point) : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x x xI II III⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟On considère un triangle T de sommets , et (fig. 1). Rappeler la N N NI II IIIy y y⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟I II III⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠formule de la transformation affine reliant ce triangle au triangle de référence ainsi que la formule donnant la surface S du triangle en fonction de la matrice Jacobienne. Question 2 (0.5 point) : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞a x a x a x⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟a I a II a IIIOn considère un triangle T de sommets , et où a est un a N N NI II III⎜a y ⎟ ⎜a y ⎟ ⎜a y ⎟I II III⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠nombre réel strictement positif. Montrer que T est bien un triangle, c’est-à-dire que les aa a asommets , et ne sont pas alignés. N N NI II III Question 3 (0.5 point) : Calculer la surface S du triangle T en fonction de la surface S du triangle T et du nombre a aréel a. Question 4 On considère un problème stationnaire de conduction de chaleur en 2D-axisymétrique dans un matériau isotrope de conductivité 10 W/(m °C). Le maillage est constitué de quatre éléments triangulaires E , E , E , E et de six nœuds N , N , N , N , N , N (fig. 2). La 1 2 3 4 1 2 3 4 5 63structure est soumise à une source interne de chaleur volumique uniforme q =100 W/m . Une température connue T est imposée aux nœuds 1, 2, 3, 4 et 6. En respectant la ...

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Extrait

MN52 – Modélisation Numérique pour l’Ingénieur – Applications et Codes Industriels

Final Printemps 2008 – F. Peyraut – R. Bolot

NOTES DE COURS, TD ET TP AUTORISÉES

TRANSFERT THERMIQUE CONDUCTIF

Question 1 (0.25 point)

:

On considère un triangle T de sommets

,

et

(fig. 1). Rappeler la

formule de la transformation affine reliant ce triangle au triangle de référence ainsi que la

formule donnant la surface S du triangle en fonction de la matrice Jacobienne.

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

y

x

N

I

I

I

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

y

x

N

II

II

II

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

y

x

N

III

III

III

Question 2 (0.5 point)

:

On considère un triangle T

a

de sommets

,

et

où a est un

nombre réel strictement positif. Montrer que T

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

y

a

x

a

N

I

I

a

I

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

y

a

x

a

N

II

II

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II

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

y

a

x

a

N

III

III

a

III

a

est bien un triangle, c’est-à-dire que les

sommets

,

et

ne sont pas alignés.

N

a

I

N

a

II

N

a

III

Question 3 (0.5 point)

:

Calculer la surface S

a

du triangle T

a

en fonction de la surface S du triangle T et du nombre

réel a.

Question 4

On considère un problème stationnaire de conduction de chaleur en

2D-axisymétrique

dans

un matériau isotrope de conductivité 10 W/(m °C). Le maillage est constitué de quatre

éléments triangulaires E

1

, E

2

, E

3

, E

4

et de six noeuds N

1

, N

2

, N

3

, N

4

, N

5

, N

6

(fig. 2). La

structure est soumise à une source interne de chaleur volumique uniforme

q

=100 W/m

3

. Une

température connue

T

est imposée aux noeuds 1, 2, 3, 4 et 6. En respectant la convention de

numérotation locale donnée sur la figure 3, calculer les températures aux noeuds du maillage

dans les deux cas suivants :

4a) 0.25 point :

;

;

;

;

;

;

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

1

1

N

1

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

2

1

N

2

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

3

1

N

3

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

3

0

N

4

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

2

0

N

5

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

1

0

N

6

T

= 5 °C

4b) 2.5 point :

;

;

;

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⎠

⎞

⎜

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⎝

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a

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⎟

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⎞

⎜

⎜

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a

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⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

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⎝

⎛

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N

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⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

3a

0

N

4

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

2a

0

N

5

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

a

0

N

6

T

= 5a

2

°C, a

étant un nombre réel strictement positif.

/4

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