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UTBM suites series fonctions de variable complexe 2004 tc

4 pages
MT 26 Médian Printemps 04 Jeudi 29 avril 2004 Matériel autorisé: uniquement une feuille aide-mémoire A4 recto Les deux parties sont à rendre sur des copies séparées (même vides) I. Première partie ( 4 + 4 + 4 points ) 1°) Étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes : ¥ 1 2 ¥X F 1 I X F 1 I dxF I F I X - xI = 1- ...
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  MT 26 Médian Printemps 04 Jeudi 29 avril 2004  
Matériel autorisé: uniquement un-em féemuilolier ea iAd4e r ecto Les deux parties sont à rendre sur des copies séparées (même vides)
I.Première partie( 4 + 4 + 4 points )
1°) Étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes : 1=ZY1¥HG-cosGHxJJK,2=ZY10HG-cosHGx1JJK,3=ZXY-12+xdx-x2, I=0¥zlnc1-e-xhdx I11dxI1dxI42   2°) Calculer les intégrales suivantes, elles sont convergentes (ne pas le vérifier): x21 22 I1=ZY¥(xdxx+I1,)2=¥xx e- Idx ,3=YZHG-x12ln(1-x)-1xJKdx 000   3°) Pour lutter contre certaines idées fausses : a) f étant une fonction continue sur R+, peut-on dire¥zf (x) dx convergeÞåf (n) converge ? 1n³1 · permettent Quelles conditions sur f ? de répondre oui à la question a) · Étudier la réponse à la question a) dans les cas suivants (x) : f=cosp)p(,xsfuix=cos2px x x
b)åunconvergeÞåun2converge ? ·Quelle est la réponse à b) dans le cas où"nÎN, un> 0 ? · ?Quelle est la réponse à b) dans le cas général Justifier vos réponses par une démonstration ou un contre-exemple. c)åunetåln 1+unsont-elles de même nature (convergentes ou divergentes) ? Donner la réponse suivant unpar une démonstration ou un contre-exemple., en la justifiant  
II.Seconde partie(3 + 3 + 2 + 4 points) 
1°) Intégrales et séries : Soit la* s u nfinie par  suitebunngÎNn=YZ(nn+1)pxdxix p n>0égraleZYp¥ . snixxxd a) Étudier la convergence de la sérieåun. En déduire la convergence de l’int b) Étudier la convergence absolue de la sérieåun. En déduire la convergence absolue de l’intégrale n>0 *2 YZp¥a démonton pourrer ruq er ou P . xxd ,noitseuq ettecisxn"nÎN un³n+1p. ( )  
 
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