UTBM suites series fonctions de variable complexe 2004 tc

Description

MT 26 Médian Printemps 04 Jeudi 29 avril 2004 Matériel autorisé: uniquement une feuille aide-mémoire A4 recto Les deux parties sont à rendre sur des copies séparées (même vides) I. Première partie ( 4 + 4 + 4 points ) 1°) Étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes : ¥ 1 2 ¥X F 1 I X F 1 I dxF I F I X - xI = 1- ...

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• Publié par: shura
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Extrait

 

   MT 26  Médian Printemps 04 Jeudi 29 avril 2004  

Matériel autorisé: uniquement un-em féemuilolier ea iAd4e r ecto Les deux parties sont à rendre sur des copies séparées (même vides)

I. Première partie ( 4 + 4 + 4 points )

1°) Étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes : 1 = Z Y 1 ¥ H G - cos G H x JJ K , 2 = Z Y 1 0 H G - cos H G x 1 J J K , 3 = Z X Y - 1 2 + x dx - x 2 , I = 0 ¥ z ln c 1 - e - x h dx I1 1 dxI1dxI 4 2     2°) Calculer les intégrales suivantes, elles sont convergentes (ne pas le vérifier): x 2 1 2 2 I 1 = Z Y ¥ (x d x x + I 1 , ) 2 = ¥ x x e -  Idx , 3 = Y Z H G - x 1 2 ln(1 - x) - 1 x J K dx 0 0 0     3°) Pour lutter contre certaines idées fausses : a) f étant une fonction continue sur R + , peut-on dire ¥ z f (x) dx converge Þ å f (n) converge ? 1 n ³ 1 ·  permettent Quelles conditions sur f ? de répondre oui à la question a) ·  Étudier la réponse à la question a) dans les cas suivants (x) : f = cos p )p(, x sfuix = cos2 p x x x

b) å u n converge Þ å u n 2 converge ? · Quelle est la réponse à b) dans le cas où " n Î N, u n > 0 ? ·  ?Quelle est la réponse à b) dans le cas général Justifier vos réponses par une démonstration ou un contre-exemple. c) å u n et å ln 1 + u n sont-elles de même nature (convergentes ou divergentes) ? Donner la réponse suivant u n par une démonstration ou un contre-exemple., en la justifiant  

II. Seconde partie (3 + 3 + 2 + 4 points)  

1°) Intégrales et séries : Soit la *  s  u  n finie par  suite b u n n g Î N dé n = Y Z ( n n + 1)p x dx ix p n > 0 égrale Z Y p ¥  .  sni x x xd a) Étudier la convergence de la série å u n . En déduire la convergence de l’int b) Étudier la convergence absolue de la série å u n . En déduire la convergence absolue de l’intégrale n > 0 * 2 Y Z p ¥ a démonton pourrer ruq er ou P . x x d ,noitseuq ettec isxn " n Î N u n ³ n + 1 p . ( )