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a Pour tout réel x f1 x xe x

3 pages
Niveau: Secondaire, Lycée
EXERCICE 3 PARTIE A 1) a) Pour tout réel x, f1(x) = xe?x. Limite de f1 en ?∞. lim x??∞ x = ?∞ et lim x??∞ e?x = lim X?+∞ eX = +∞. Donc lim x??∞ f1(x) = lim x??∞ xe?x = ?∞. Limite de f1 en +∞. Pour tout réel non nul x, f1(x) = x ex = 1 ex/x . D'après un théorème de croissances comparées, on sait que lim x?+∞ ex x = +∞ et donc lim x?+∞ f1(x) = lim x?+∞ 1 ex/x = 0. lim x??∞ f1(x) = ?∞ et lim x?+∞ f1(x) = 0. b) La fonction f1 est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x, f ?1(x) = 1? e ?x + x? (?1)? e?x = (1? x)e?x. Pour tout réel x, e?x > 0 et donc pour tout réel x, f ?(x) est du signe de 1 ? x. Par suite, la fonction f ?1 est strictement positive sur ] ?∞, 1[ et strictement négative sur ]1,+∞[ puis la fonction f1 est strictement croissante sur ] ?∞, 1] et strictement décroissante sur [1,+∞[.

  • droites d'équations respectives

  • puisque lim

  • axe des abscisses

  • équation de tk

  • point de coordonnées

  • xe?x dx


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EXERCICE 3
PARTIE A
x 1) a)Pour tout réelx,f1(x) =xe. x Xx Limite def1en.limx=et lime=lime= +. Donclimf1(x) =limxe=. xxX+xxx 1 Limite def1en+.Pour tout réel non nulx,f1(x=) =. D’après un théorème de croissances comparées, on x x e e/x x e 1 sait quelim= +et donclimf1(x) =lim=0. x x e/x x+x+x+
limf1(x) =et limf1(x) =0. xx+
b)La fonctionf1est dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,
!xxx f(x) =1×e+x×(1)×e= (1x)e. 1 x! ! Pour tout réelx,0e >et donc pour tout réelx,f(x)est du signe de1x. Par suite, la fonctionfest strictement 1 positive sur], 1[et strictement négative sur]1,+[puis la fonctionf1est strictement croissante sur], 1]et strictement décroissante sur[1,+[. On en déduit le tableau de variations de la fonctionf1: x1+! f(x) +01 1 e f1 0 c)La courbeC1admet une tangente parallèle à(Ox)en son point d’abscisse1. La tangenteTkn’est pas parallèle à(Ox). L’entierkn’est donc pas égal à1ou encore l’entierkest supérieur ou égal à2. 2) a)Si un pointMappartient à toutes les courbesCn,n!1, alorsMappartient aux courbesC1etC2et donc son abscissexest solution de l’équationf1(x) =f2(x). Soitxun réel.
x 2xx 2xx f1(x) =f2(x)xe=x exex e=0x(1x)e=0 x x(1x) =0(care"=0) x=0oux=1.
Les courbesC1etC2ont exactement deux points communs, les points de coordonnées respectives(0, 0)(carf1(0) =0) et ! " 1 1 1,(carf1(1) =). Les courbesCn,n!1, ont donc au plus deux points en commun. e e n0 Réciproquement, pour tout entier naturel non nuln,fn(0) =0 e=0et donc le pointO(0, 0)appartient à toutes les courbesCn,n!1. ! " 1 1 n1 De même, pour tout entier naturel non nuln,fn(1) =1×e=et donc le point de coordonnées1,appartient e e à toutes les courbesCn,n!1. ! " 1 Les courbesCn,n!1, ont exactement deux points communs, les points de coordonnées(0, 0)et1,. e
b)Soitn!2. La fonctionfnest dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,
!n1x nx n1x nx n1x f(x) =nx e+x(1)e=nx ex e=x(nx)e. n
!2x! 3)En particulier, pour tout réelx,f(x) =x(3x)e. Donc, la fonctionfest strictement positive sur], 0[]0, 3[ 3 3 et strictement négative sur]3,+[puis la fonctionf3est strictement croissante sur], 3]et strictement décroissante sur[3,+[. La fonctionf3admet donc un maximum atteint enx=3. !1!k111 4) a)Soitk!2. Une équation deTkesty=fk(1) +f(1)(x1)avecfk(1) =eetf(1) =1(k1)e= (k1)e. k k
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