b Corrigé du Baccalauréat S Antilles Guyane c juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
b Corrigé du Baccalauréat S Antilles-Guyane c 23 juin 2009 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats 1. On peut dénombrer les cas possibles à l'aide d'un tableau : PPPPPPPDé 1 Dé 2 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD Les deux dés peuvent être supposés équilibrés, il y a donc situation d'équipro- babilité et : p(E0)= 916 ; p(E1)= 6 16 = 3 8 ; p(E2)= 1 16 . 2. a. Nombre de Nombre de faces « A » faces « A » 0 0 1 2 1 0 1 2 1er lancer 2e lancer 9 16 6 16 1 16 9 16 6 16 1 16 3 4 1 4 b. Il y a trois façons distinctes de gagner pour le joueur : • il obtient deux faces « A » au premier lancer, ou bien • il obtient une face «A» aupremier lancer, et une face «A» audeuxième, ou bien • il n'obtient aucune face « A » au premier lancer, et deux faces « A » au second. À l'aide de l'arbre pondéré ci-dessus, la probabilité de gagner est donc égale à : 1 16 + 9 16 ? 1 16 + 6 16 ? 1 4 = 49 256 .

• variable aléatoire désignant le gain algébrique du joueur


• ??


• points commun


• composition lim

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 8
• Langue: Français

Extrait

bCorrigéduBaccalauréatSAntilles-Guyanec
23juin2009
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
1. Onpeutdénombrerlescaspossiblesàl’aided’untableau:
PP Dé2PP A B C DPDé1 PP
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB CC CD
D DA DB DC DD
Lesdeuxdéspeuventêtresupposéséquilibrés,ilyadoncsituationd’équipro-
babilitéet:
9 6 3 1
p(E )? ; p(E )? ? ; p(E )? .0 1 2
16 16 8 16
2. a.
Nombrede Nombrede
faces«A» faces«A»
9 0
16
6 1
160
9 21
16 16
3
4 0
6
16
1 1
1
4
1
216
er e1 lancer 2 lancer
b. Ilyatroisfaçonsdistinctesdegagnerpourlejoueur:
? ilobtientdeuxfaces«A» aupremierlancer,oubien
? ilobtientuneface«A» aupremierlancer,etuneface«A» audeuxième,
oubien
? iln’obtient aucune face«A» aupremierlancer, etdeuxfaces «A» au
second.
À l’aide de l’arbre pondéré ci-dessus, la probabilité de gagner est donc
égaleà:
1 9 1 6 1 49
? ? ? ? ? .
16 16 16 16 4 256
c. NotonsX lavariablealéatoiredésignantlegainalgébriquedujoueur.
49
? X?5lorsquelejoueurgagne,doncp(X?5)? .
256
? X?0lorsqu’un seuldéreposesurlaface«A»,celapeutavoirlieu au
premierouaudeuxièmelancer,doncd’aprèsl’arbre:
9 5 6 3 126
p(X?0)? ? ? ? ? .
16 16 16 4 256BaccalauréatS
? X??5lorsquelejoueurn’obtientaucuneface«A»,doncp(X??5)?
9 9 81
? ? .
16 16 256
OnpeutrésumerlaloideX dansletableausuivant:
x ?5 0 5 Total
81 126 49
p(X?x) 1
256 256 256
L’espérancemathématique deX estalorségaleà:
81 126 49 ?160
E(X)??5? ?0? ?5? ? ?0,
256 256 256 256
lejeuestdoncdéfavorableaujoueur.
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
Danschacundescassuivants,indiquersil’affirmationproposéeestvraieoufausse
etjustifierlaréponse.
0 ?1. L’écriturecomplexedef estdelaformez ?az?baveca2C etb2C.D’après
lecours, f estdoncunesimilitude directe.Deplus:qp p
2? a?1?i 3,doncjaj? 1?( 3) ?2et f apourrapport2.
à !p
1 3 π π πi 3? a?2 ?i ?2e ,doncarg(a)? (2π)et f apourangle .
2 2 3 3
p p p p
? (1?i 3)?2i?2 3?2i?2 3?2 3?2i,donc f(A)?A.
Lapremièreaffirmationestdoncvraie.
2 3 62. Ona:1991?3(7).Deplus3 ?2(7)et3 ??1(7)donc3 ?1(7).
2009 6 334 5Comme2009?6?334?5onendéduitque:3 ?(3 ) ?3 (7)c’est-à-dire
2009 334 2 3 2009 20093 ?(?1) ?3 ?3 (7),d’où:3 ?1?2?(?1)(7),soit:3 ??2(7).
2009Onafinalement1991 ??2(7).
Ladeuxièmeaffirmationestdoncfausse.
3. Soit a etb deuxentiers relatifsquelconques,n etp deuxentiers naturelspre-
miersentreeux.
? Supposonsquea?b(p),alorsna?nb (p)parcompatibilitédelamultipli-
cationaveclescongruences.
? Réciproquement,supposons quena?nb (p).Alorsp divisena?nb,c’est-
à-direp divisen(a?b).Commen etp sontpremiersentreeux,lethéorème
deGaussentraînequep divisea?b,c’est-à-direquea?b (p).
L’équivalence estdoncdémontrée.
Latroisièmeaffirmationestdoncvraie.
4. SoitM(x ; y ; z)unpointdel’espace,alors:
³ ´ ³ ´ ³ ´
2 2 2M2S () y?3etx ?y ?z () y?3etx ?9?z .
2Danslepland’équation y?3,z?x ?9estl’équation d’uneparabole.
Laquatrièmeaffirmationestdoncfausse.
5. SoitM(x ; y ; z)unpointdel’espaceàcoordonnéesentièresappartenantàP
etauplan(yOz).
2 2 2? M?O vérifiecesconditions,puisque x?0,0 ?0 ?3?0 et02Z.
? Supposons queM soit distinctdeO.Alorsx?0carM2(yOz).Onadonc:
2 2y ?3z .Commez6?0(carsinon y seraitnuletM seraitconfonduavecO),
2 py y
on obtient ?3, ce qui signifierait que est irrationnel (égal à? 3), ce
2z z
qui estfaux, car y2Zetz2Z.L’hypothèse «M est distinct deO» est donc
absurde.
Antilles-Guyane 2 23juin2009BaccalauréatS
? LeseulpointvérifiantlesconditionsprécédentesestdonclepointO.
Lacinquièmeaffirmationestdoncvraie.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
³ ´ ³ ´
1. M2E () AM?BM .E estdoncbienlamédiatricedusegment[AB].
Lapremièreaffirmationestvraie.
³ ´ ³ ´c?a c?a π?! ?!
2. ?2ientraîneque:arg ?arg(2i)(2π),d’où: AB ; AC ? (2π).
b?a b?a 2
Le triangle ABC est doncrectangleen A,cequi entraîne que A appartient au
cercledediamètre[BC].
Ladeuxièmeaffirmationestvraie.
¡ ¢π 2009πi i2009 2009 2009 287iπ 20097 73. Siz?2e ,alorsz ?2 e ?2 e .Parconséquent:arg z ?
2009287π(2π),etcomme287estimpair,celaentraînequez estunréelstricte-
mentnégatif.
Latroisièmeaffirmationestdoncfausse.
??! ??! ??! ??!
4. D’aprèslethéorèmederéduction:MA ?MB ?MC ?3MG .Donc:
° °³ ´ ³ ´ ³ ´???!° °
M2F () °3MG °?6 () MG?2 .
F estdonclasphèredecentreG etderayon2.
Laquatrièmeaffirmationestvraie.
p
5. LasphèreS apourrayon 5etpourcentreO(0; 0; 0).
p
j0?0?5j 5 5 2
LadistancedupointO auplanP estégaleàp ?p ? .
2 2 2 221 ?1 ?0p
p 5 2
5? , donc la sphère et le plan ne sont pas sécants, et leur intersection
2
estvide.
Lacinquièmeaffirmationestdoncfausse.
EXERCICE 3 7points
Communàtouslescandidats
PARTIEA.
101. f estsolutiondel’équationdifférentielle y ?? y?10,doncd’aprèsunthéo-
2
rèmeducours,ilexisteuneconstantek telleque,pourtoutt>0:
1 110? t ? t
2 2f(t)?ke ? ?ke ?20.
1?
2
La condition f(0)?220 entraîne alors que k?20?220, c’est-à-direk?200.
Finalement :
t?
2f(t)?200e ?20.
?2. a. f est dérivablesurR entant que combinaison simple defonctions qui
lesont,et,pourtoutt>0:
t0 ?
2f (t)??100e ?0;
?lafonction f estdoncstrictementdécroissantesurR .
Antilles-Guyane 3 23juin2009BaccalauréatS
tt X ?
2b. lim ? ??1et lim e ?0,doncparcomposition lim e ?0.On
t!?1 t!?12 X!?1
endéduitparopérationsque lim f(t)?20;cequisignifiequeladroite
t!?1
D d’équation y?20 est asymptote horizontale à la courbeC au voisi-
nagede?1.
c. Voirfigure.
f(t)en°C
220 C
200
180
160
140
120
100
80
60y?50
40
D
20
t (enheures)
'3,8
?1 1 2 3 4 5 6
?20
FIGURE 1–exercice3,question 2c
3. a. Graphiquement, f(t)?50pourt?3,8,soit3heureset48minutes envi-
ron.
b. Résolvons:
t?2f(t)?50 () 200e ?20?50
t?
2() 200e ?30
t 3?
2() e ?
20
µ ¶
t 3
() ? ?ln
2 20
µ ¶
3
() t??2ln '3,79à0,01près
20
Onretrouvebienlerésultatprécédent.
PARTIEB.
1. a. Àl’aidedelacalculatrice,audixièmeprès:d '78,7,d '47,7,d '28,9.0 1 2
b. Comme lim f(t)? 0, il est clair que lim f(n)? lim f(n?1) donc
n!?1 n!?1t!?1
que: lim d ?0.n
n!?1
Antilles-Guyane 4 23juin2009
bbBaccalauréatS
2. Ondétermineràpartirdequelentiernatureln onad 65.n
n n?1? ?2 2d 65 () 200e ?200e 65n
³ ´
n 1? ?
2 2() 200e 1?e 65
³ ´
1 n?
2 2() 40 1?e 6e
h ³ ´i
1 n?
2() ln 40 1?e 6
2
h ³ ´i
1?
2() 2ln 40 1?e 6n
h ³ ´i
1?2et comme 2ln 40 1?e ' 5,5 (au dixième près), la plus petite valeur de
l’entiern àpartirdelaquellel’abaissementdetempératureestinférieurà5°C
estdoncn?6.
Remarque:onpouvaitaussidémontrerquelasuite(d )estdécroissante,puisn
calculerd etd etconclure.5 6
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
?1. a. Lafonction f estdérivablesurR commecombinaison simple defonc-
1 x0tionsquilesont,etpourtoutréelx>0: f (x)?1? ? ?0.La
x?1 1?x
?fonction f est doncstrictement croissante surR ,etpour tout x>0on
aalors f(x)>f(0),c’est-à-direx?ln(1?x)>0,d’où:ln(1?x)6x.
µ ¶
1 1? ?b. Soitn2N ,ln(u )?nln 1? et 2R ,doncd’aprèslaquestionpré-n
n n
1
cédente:ln(u )6n? ,c’est-à-direln(u )61.n n
n
?c. Pourtoutn2N ,ln(u )61,doncu 6eetlasuite (u )estmajoréeparn n n
e,ellenepeutdoncpasdivergervers?1.
µ ¶
1 1 ln(1?x)
2. a. v ?ln(u )?nln 1? ,enposantx? onadonc:v ? .n n n
n n x
ln(1?x)
b. lim ?1d’aprèsunelimiteducours.Quandn!?1,onax!0,
x!0 x
donc: lim v ?1.nn!?1
vnc. v ?ln(u ),doncu ?e ,etcomme(v )convergevers1,onendéduitn n n n
que(u )convergeverse.n
Antilles-Guyane 5 23juin2009