Baccalauréat Amérique du Sud série S novembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat Amérique du Sud série S \ novembre 2003 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement ?1, 0, 0, 1 et indiscernables au toucher. On tire un jeton du sac, on note son numéro x et on le remet dans le sac ; on tire un second jeton, on note son numéro y et on le remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro z et on le remet dans le sac. Tous les jetons ont la même probabilité d'être tirés. À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l'espace muni d'un repère ortho- normal ( O, ?? ı , ?? ? , ?? k ) le point M de coordonnées (x, y, z). Sur le graphique joint en annexe page 6, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions possibles du point M . Les coordonnées du point A sont (1 ; ?1 ; ?1) dans le repère ( O, ?? ı , ?? ? , ?? k ) . On note C le cube ABCDEFGH. 1. Démontrer que la probabilité que le point M soit en A est égale à 1 64 . 2. On note E1 l'évènement : «M appartient à l'axe des abscisses ».

• couleur sur le graphique de la page


• graphique joint en annexe page


• probabilité


• similitude directe de centreo


• point d'affixe


• tangente au point d'abscisse


• repère orthonormal direct

Sujets

• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2003
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatAmériqueduSudsérieS\
novembre2003
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Unsaccontient4jetonsnumérotésrespectivement−1, 0, 0, 1etindiscernablesau
toucher.
On tire un jeton du sac, on note son numéro x et on le remet dans le sac; on tire
un second jeton, on note son numéro y et on le remet dans le sac; puis on tire un
troisièmejeton,onnotesonnuméroz etonleremetdanslesac.
Touslesjetonsontlamêmeprobabilitéd’êtretirés.
À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l’espace muni d’un repère ortho-³ ´→− →− →−
normal O, ı ,  , k lepointM decoordonnées(x, y, z).
Sur le graphique joint en annexe page 6, sont placés les 27 points correspondant
aux différentes positions possibles du point M. Les coordonnées du point A sont³ ´→− →− →−
(1; −1; −1)danslerepère O, ı ,  , k .
OnnoteC lecubeABCDEFGH.
1
1. Démontrerquelaprobabilitéquelepoint M soitenAestégaleà .
64
2. OnnoteE l’évènement :«M appartientàl’axedesabscisses».1
1
DémontrerquelaprobabilitédeE estégaleà .1
4
→−
3. SoitP leplanpassantparOetorthogonalauvecteur n (1; 1; 1).
a. DétermineruneéquationcartésienneduplanP.
b. Tracer en couleur sur le graphique de la page 5, la section duplanP et
ducubeC.(Onnedemandepasdejustification).
c. OnnoteE l’évènement:«M appartientàP ».2
Quelleestlaprobabilitédel’évènement E ?2
4. OndésigneparB labouledecentreOetderayon1,5(c’est-à-direl’ensemble
despointsM del’espacetelsqueOM61,5).
OnnoteE l’évènement :«M appartientàlabouleB».3
Déterminerlaprobabilitédel’évènement E .3
EXERCICE 2 5points
Enseignementobligatoire
³ ´→− →−
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v (unité gra-
phique4cm).
SoitIlepointd’affixe1.OnnoteC lecercledediamètre[OI]etonnommesoncentre
Ω.
PartieI
1 1
Onposea = + ietonnoteA sonimage.0 0
2 2
1. MontrerquelepointA appartientaucercleC.0
′ ′2. Soit B le point d’affixe b, avec b =−1+2i, et B le point d’affixe b telle que
′b =a b.0
′a. Calculerb .
′ ′b. DémontrerqueletriangleOBB estrectangleenB .PartieII
Soit a un nombre complexe non nul et différent de 1, et A son image dans le plan
complexe.
′ ′ ′ÀtoutpointM d’affixeznonnulle,onassocielepointM d’affixez tellequez =az.
′1. Onseproposededéterminerl’ensembledespointsAtelsqueletriangleOMM
′soitrectangleenM .
µ ¶
a−1
a. Interprétergéométriquementarg .
a
µ ¶³ ´−−−→ −−−→ a−1′ ′b. Montrerque M O, M M =arg +2kπ (oùk∈Z).
a
′ ′c. En déduire que le triangle OMM est rectangle en M si et seulement si
A appartientaucercleC privédeOetdeI.
2. Danscettequestion, M estunpointdel’axedesabscisses,différentdeO.
Onnote x sonaffixe.
Onchoisit a demanièreque A soitunpointdeC différentdeIetdeO.
′MontrerquelepointM appartientàladroite(OA).
′EndéduirequeM estleprojetéorthogonaldeM surcettedroite.
EXERCICE 2 5points
Enseignementdespécialité
³ ´
→− →−
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, ı ,  (unité gra-
phique:1cm).
π
Onnoter larotationdecentreOetd’angle etr larotationdecentreOetd’angle1 2
3
π
.
5
PartieA
1. RésoudredansZ×Zl’équation(E):3y=5(15−x).
2. SoitIlepointd’affixe1.
Onconsidèreunpoint A mobilesurlecercletrigonométriqueC decentreO.
SapositioninitialeestenI.
Onappelled ladistance,expriméeencentimètres, qu’aparcouruelepoint A
surlecercleC aprèsavoirsubi p rotationsr et q rotationsr (p et q étant1 2
desentiersnaturels).
Onconvientquelorsque Asubitlarotationr (respectivementr ),ilparcourt1 2
π π
unedistancede cm(respectivement cm).
3 5
Déterminer toutes les valeurspossibles de p et q pour lesquelles lepoint A a
parcouruexactement deuxfoisetdemielacirconférenceducercleC àpartir
deI.
PartieB
Onnoteh l’homothétie decentreOetderapport4eth l’homothétie decentreO1 2
etderapport−6.Onposes =r ◦h ets =r ◦h .1 1 1 2 2 2
1. Préciserlanatureetlesélémentscaractéristiquesdes ets .1 2
2. Onpose:
S =s ◦s ???◦s (composéedem foiss , m étantunentiernaturelnonnul),m 1 1 1 1
′S =s ◦s ???◦s (composée den fois s , n étantun entier naturel nonnul),2 2 2 2n
′et f =S ◦S .mn
22m+n na. Justifierque f estlasimilitudedirectedecentreO,derapport2 ×3
π 6π
etd’anglem +n .
3 5
b. f peut-elleêtreunehomothétiederapport144?
′c. OnappelleMlepointd’affixe6etM sonimagepar f.
′Peut-onavoirOM =240?
Démontrerqu’ilexisteuncoupled’entiersnaturelsunique(m, n)telque
′OM =576. ³ ´−−−→→− ′Calculeralorslamesureprincipaledel’angleorienté u , OM .
PROBLÈME 11points
Onconsidèrelafonction f définiesurRpar:
1
f(x)=
x −xe +e
³ ´→− →−
etondésigneparΓsacourbereprésentativedansunrepèreorthogonal O, ı ,  .
PartieA
1. Étudierlaparitéde f.Quepeut-onendéduirepourlacourbeΓ?
−x x2. Démontrerque,pourtoutréelx positifounul,e 6e .
3. a. Déterminerlalimitede f en+∞.
b. Étudierlesvariationsde f sur[0; +∞[.
1
4. Onconsidèrelesfonctions g eth définiessur[0;+∞[parg(x)= eth(x)=
xe
1
.
x2e ³ ´→− →−
Sur l’annexe sont tracées, dans le repère O, ı ,  les courbes représenta-
tivesdeg eth,notéesrespectivementΓ etΓ .1 2
a. Démontrerque,pourtoutréelx positifounul,h(x)6 f(x)6g(x).
b. Quepeut-onendéduirepourlescourbesΓ,Γ ,etΓ ?1 2
TracerΓsurl’annexe,enprécisantsatangenteaupointd’abscisse0.
PartieB
Zn+1
Soit(I )lasuitedéfiniesurNpar:I = f(x)dx.n n
n
1. Justifierl’existencede(I ),etdonneruneinterprétationgéométriquede(I ).n n
2. a. Démontrer,quepourtoutentiernatureln, f(n+1)6I 6 f(n).n
b. Endéduirequelasuite(I )estdécroissante.n
c. Démontrerquelasuite(I )estconvergenteetdeterminersalimite.n
PartieC
Zn
Soit(J )lasuitedéfiniesurNpar: J = f(x)dx.n n
0
1. En utilisant l’encadrement obtenu dans la question A. 4. a., démontrer que,
pourtoutentiernatureln :
¡ ¢1 −n −n
1−e 6J 61−e 61.n
2
32. Démontrerquelasuite(J )estcroissante.n
Endéduirequ’elleconverge.
3. OnnoteLlalimitedelasuite(J )etonadmetlethéorèmesuivant:n
«Siu , v etw sonttroissuitesconvergentesdelimitesrespectives a, b etcn n n
etsi,àpartird’uncertainrangonapourtoutn, u 6v 6w ,alorsn n n
a6b6c».
DonnerunencadrementdeL.
4. Soitu lafonctiondéfiniesurRpar
1
u(x)= .
21+x
π
Onnote v laprimitivedeu surRtellequev(1)= .
4
On admet que la courbe représentative de v admet en +∞ une asymptote
π
d’équation y= .
2
xe
a. Démontrerque,pourtoutréelx, f(x)= .
x 2(e ) +1
b. Démontrerque,pourtoutréelx, f estladérivéedelafonction
xx7!v e .( )
c. EndéduirelavaleurexactedeL.
4Annexedel’exercice1
Cettepageseracomplétéeetremiseaveclacopie
H
G
E
F
→−
k
→−
O
→−ı
D
C
A
B
5Annexeduproblème
Cettepageseracomplétéeetremiseaveclacopie
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 1 2 3 4 5 6
-0,1
-0,2
6