Baccalauréat C Aix–Marseille juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Aix–Marseille juin 1978 \ EXERCICE 1 Un plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormé direct ( O, ??ı , ??? ) . On appelle D (respectivement ∆) la droite passant par O dont un vecteur directeur est ??u =??ı cos?+??? sin? (respectivement ??v =??ı cos????? sin?. 1. Pour tout point M de P, démontrer qu'il existe un et un seul bipoint (P, Q) dont M soit le milieu tel que P ? D et Q ?∆. 2. On appelle Q? (respectivement P?) le projeté orthogonal de P (respectivement Q) sur ∆ (resp. D) et M ? le milieu du bipoint (P?, Q?). On désigne par S l'application de P dans P telle que S(M)=M ?. Démontrer que S est bijective. 3. On pose ???OP = r??u , ???OQ = r ???v . Calculer en fonction de r, r ?, ?, les coordonnées (x ; y) de M et (x? ; y ?) de M ?. 4. Démontrer que S est une similitude indirecte dont on précisera le centre, l'axe et le rapport. EXERCICE 2 Soit E l'ensemble des triplets X = (p,q, r ) (p ?Z,q ?Z,r ?Z?) tels que p2+q2 = r 2.

• application f1


• tion des applications


• ?? e?x2


• loi de composition interne


• ??ı cos?????


• entiers positifs de l'équa- tion p2


• e?t2 dt


• repère ortho

Sujets

• Loi de composition interne

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1978
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Aix–Marseille juin 1978\

E X E R C IC E 1 ³ ´ −→−→ Un plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormé directO,ı,. On appelle D (respectivementΔ) la droite passant par O dont un vecteur directeur −→−→−→−→−→−→ estu=ıcosθ+sinθ(respectivementv=ıcosθ−sinθ.

1.Pour tout pointMde P, démontrer qu’il existe un et un seul bipoint (P, Q) dont Msoit le milieu tel que P∈D et Q∈Δ. ′ ′ 2.On appelle Q(respectivement P ) le projeté orthogonal de P (respectivement ′ ′′ Q) surΔ(resp. D) etMle milieu du bipoint (P , Q ). ′ On désigne parSl’application de P dans P telle queS(M)=M. Démontrer que S est bijective. −→−→−−→→− ′ 3.On pose OP=r u, OQ=r v. ′ ′′ ′ Calculer en fonction der,r,θ, les coordonnées (x;y) deMet (x;y) deM. 4.Démontrer queSest une similitude indirecte dont on précisera le centre, l’axe et le rapport.

E X E R C IC E 2 ¡ ¢ ⋆22 2 Soit E l’ensemble des tripletsX=(p,q,r)p∈Z,q∈Z,r∈Ztels quep+q=r. On définit l’applicationfde E dans l’ensembleCdes nombres complexes telle que p+iq X∈E7−→f(X)= =Z. r 1.Calculer|Z|. Montrer que, dans E, la loi notée⋆, définie par ¡ ¢ X 1 ⋆X 2 =p 1 p 2 −q 1 q 2 ,p 2 q 1 +p 1 q 2 ,r 1 r 2 ¡ ¢¡ ¢ avecX 1 =p 1 ,q 1 ,r 1 etX 2 =p 2 ,q 2 ,r 2 est une loi de composition interne. Calculerf ( X 1 ⋆X 2 ). Montrer quefest un homomorphisme de (E,⋆) dans (C,∙). 2.Vérifier que siX 0 =(3, 4, 5),X 0 ∈E. CalculerX 0 ⋆X 0 ,X 0 ⋆ ( X 0 ⋆X 0 ). En déduire deux solutions, autres queX 0 , en nombres entiers positifs de l’équa 2 2 2 tionp+q=r.

P R O B L È M E Rest l’ensemble des nombres réels. Fdésigne l’ensemble des applications deRdansR. On rappelle queFmuni de l?addition et de la multiplication par un réel est unR espace vectoriel. Partie A 1.Soitula fonction affine définie par :

2 x∈R−7→u(x)=a x+b(a,b)∈R. Montrer queuvérifie la relation

2 (∀(x;y), (x;y)∈R),

|u(x)−u(y)| 6 |a||x−y|.

Le baccalauréat de 1978

2.SoitVla fonction définie par :

2 x∈R7→−V(x)=x+1. Montrer queVvérifie la relation

2 (∀(x;y), (x;y)∈R),|V(x)−V(y)| 6 |x−y|. 3.Soitfune application deRdansR, continue et bornée surR:

A. P. M. E. P.

(∃M,M∈R + ), (∀t,t∈R),|f(t)| 6 M. a.Montrer qu’il existe une fonctionF, continue surR, définie par Z x x∈R→−7F(x)=f(t) dt. 0 b.Montrer que

2 (∀(x;y), (x;y)∈R),|F(x)−F(y)| 6 M[x−y|. c.En déduire que les applicationsF 1 etF 2 définies par F 1 :x7→−sinx, x F 1 :x7−→Log (e+1) vérifient respectivement

2 ¯ ¯¯ ¯ (∀(x;y)∈R)F 1 (x)−F 1 (y) 6 |x−y|,F 2 (x)−F 2 (y) 6 |x−y|. Partie B On se propose d’étudier l’ensemble (L) des applications deRdansRvérifiant la pro position :

2 (∀f,f∈(L)), (∃λ f ,λ f ∈R + ), (∀(x;y), (x;y)∈R,|f(x)−f(y)| 6 λ f |x−y|. 1.Montrer que (L) est un sousespace vectoriel de l’espace vectoriel (F,+,∙). 2.Établir que (∀f 1 ,f 1 ∈(L)), (∀f 2 ,f 2 ∈(L)),f 2 ◦f 1 ∈(L) où◦désigne la composi tion des applications. 3.Montrer que toute application de (L) est continue en tout point deR. Partie C 1.Soitϕl’application deRdansR: 1 x→7−ϕ(x)=π+sinx. 3 Vérifier que

1 2 ∀(x;y), (x;y)∈R,|ϕ(x)−ϕ(y)| 6 |x−y|. 3 2.Soit (u n ) la suite réelle définie paru 0 ∈R,

⋆ (∀n∈N),u n =ϕ ( u n−1 ) . 1 Établir que (∀n∈N), | u n −π | 6 | u 0 −π | . n 3 En déduire que la suite (u n ) est convergente. Donner sa limite.

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Le baccalauréat de 1978

Partie D On définit les deux applications suivantes deRdansR 2 −x θ:x7→−e Z x 2 −t G:x→−7G(x)=e dt 0

A. P. M. E. P.

1.Étudier la fonctionθ. Tracer sa courbe représentative dans un repère ortho ³ ´ −→−→ normé O,ı,. 2 −t 2.Démontrer que (∀t,t∈R), e 6 1. En déduire queGappartient à (L). 3.Démontrer queGest dérivable en tout point deR. Étudier le sens de variation deG. 4.Établir que Z Z x x 2 −t−t (∀x,x>1), edt 6 e dt. 1 1 En déduire que la fonctionGest bornée et admet une limiteℓ(qu ?on ne cal culera pas) lorsquextend vers+∞.

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