Baccalauréat C Amérique du Nord

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Amérique du Nord \ juin 1982 EXERCICE 1 4 points Les éléments de l'anneau Z9Z sont notés 0˙, 1˙, 2˙, ..., 8˙. Soit a un élément de Z 9Z . On définit une application a de Z9Z dans lui-même par fa (x)= ax+ i . 1. Pour quelles valeurs de a l'applicationJ. est-elle bijective ? 2. On pose dans la suite a = 5˙ et on note f l'application f5˙. Résoudre dans Z9Z l'équation f (x)= x. 3. On définit une suite à valeurs dans Z9Z par 105 { u0 = 3˙ un = f (un?1) . a. Démontrer que pour tout entier naturel n, non nul, on a un ? 2˙= 5˙ (un?1?2) . b. En déduire un en fonction de n. Démontrer que la suite u est périodique et déterminer sa période. Calculer u1982. EXERCICE 2 4 points La fonction numérique f de la variable réelle x est définie par f (x)= Log ( √ x2+4? x ) . 1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f . 2. Montrer que la courbe C représentative de f dans un repère orthonormé du plan admet le point I(0, Log2) comme centre de symétrie.

• repère cartésien


• coordonnées du point gn


• g5 dans le repère


• application ?


• isomor- phisme d'espace vectoriel

Sujets

• Coordonnées cartésiennes

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Amérique du Nord\ juin 1982

E X E R C IC E points1 4 Z Z ˙ ˙ ˙˙ Les éléments de l’anneausont notés 0, 1, 2,..., 8. Soita.un élément de 9Z9Z Z On définit une application a luimême parde dans 9Z f a (x)=a x+i.

1.Pour quelles valeurs de a l’applicationJ. estelle bijective ? ˙ 2.On pose dans la suitea=5 et on notefl’applicationf ˙ . 5 Z Résoudre dansl’équation 9Z f(x)=x. Z 3.par 105On définit une suite à valeurs dans 9Z ½ ˙ u 0 =3 u n =f ( u n−1 ) . a.Démontrer que pour tout entier natureln, non nul, on a

˙ ˙ u n −2=5 (u n−1 −2) .

b.En déduireu n en fonction den. Démontrer que la suiteuest périodique et déterminer sa période. Calculeru 1 982 .

E X E R C IC E 2 4points La fonction numériquefde la variable réellexest définie par ³p ´ 2 f(x)=Logx+4−x. 1.Déterminer l’ensemble de définition de la fonctionf. 2.Montrer que la courbe C représentative defdans un repère orthonormé du plan admet le point I(0, Log 2) comme centre de symétrie. 3.Étudier les variations defet construire la courbe C.

P R O B L È M E

Partie A

12 points

Terminale C

1.Vérifier que

où

¡ ¢ 3 2 3z−z−z−1=3(z−1)(z−α)z−α

A. P. M. E. P.

−1+i 2−1−i 2 α=etα= 2 2 2 2.Calculer|α|;α. 3.On définit les deux suitesréelles,aetbtelles que pour tout entier natureln

n α=a n +ib n . Démontrer que pour tout entier natureln, n ¯ ¯ | a n | 6 α

n ¯ ¯ | b n | 6 α En déduire que les limites des suitesaetbsont égales à 0. Partie B Edésigne l’ensemble des suites définies surNà valeurs réelle. On définit la somme de deux suitesuetv, comme la suiteu+vde terme généralu n +v n . On définit le produit de la suiteupar le réelλ, comme la suiteλ.ude terme généralλ.u n . Emuni de ces opérations est un espace vectoriel surR. Fdésigne le sousensemble des suites deEvérifiant la relation

∀n∈N−3{0 ; 1}u n+1 −u n −u n−1 −u n−2 =0.

1.Démontrer queFest un sousespace vectoriel deE. 3 2.Démontrer que l’applicationΦ, deFsurR, qui, à toute suiteudeFfait cor respondre le triplet (u 0 ,u 1 ,u 2 ) de ses trois premiers termes, est un isomor phisme d’espace vectoriel. 3. a.Démontrer que

n+1n n−1n−2 ∀n∈N−3{0 ; 1}α−α−α−α=0. b.En déduire que les suitesaetbappartiennent àF. Soit, d’autre part, la suite réellectelle que pour tout entier natureln

c n =1. c.Montrer quec∈F. CalculerΦ(a),Φ(b),Φ(c). En déduire que (a,b,c) est une base deF. 4.Soitdla suite deFdéfinie par le triplet de ses trois premiers termes Φ(d)=(0, 1, 0). Déterminer les coordonnées (X,Y,Z) de la suiteddans la base (a,b,c). En déduire la limite ded. ¡ ¢ ′ ′ 5.Soitdla suite deFdéfinie par le tripletΦd=(0, 0, 1). Déterminer les co ¡ ¢ ′ ′ ′′ ordonnéesX,Y,Zde la suiteddans la base (a,b,c). ′ En déduire la limite ded.

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Terminale C

A. P. M. E. P.

Partie C Soit un plan affine P et trois points, non alignés, G 0 , G 1 , G 2 de ce plan. On considère ³ ´ −→−→ le repère cartésienG 0 ;ı,où ( −→−−−→ ı=G 0 G 1 −→−−−→ =G 0 G 2 points Gpar premierspoints G, On définit une suite de ( n ) n∈N la donnée des trois 0 G 1 , G 2 et pour tout naturelnsupérieur ou égal à 2, G n+1 , isobarycentre des points G n , G n−1 , G n−2 ? ³ ´ −→−→ 1.Calculer les coordonnées des points G 3 , G 4 , G 5 dans le repèreG 0 ;ı,. 2.SoitTl’application affine telle que

T(G 0 )=G 3 ;T(G 1 )=G 4 ;T(G 2 )=G 5 . a.Déterminer le pointT(G 3 ). ³ ´ −→−→ b.Déterminer la matrice dans la baseı,de l’endomorphisme associé à l’application affineT. c.Exprimer en fonction des coordonnées (x;y) d’un pointMde P, les co ¡ ¢ ′ ′′ ordonnéesx;yde son imageMparT. d.Montrer queTlaisse un point invariant I. 3.Pour tout entier natureln, on notex n ety n les coordonnées du point G n dans ³ ´ −→−→ le repèreO,ı,. ¡ ¢ suitesxetysont deux suites deFet qu’elles Montrer que les ( n ) n∈N n n∈N ′ sont égales aux suitesdetdde la partie B. Que peuton conclure pour la suite des points G n ?

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