Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1992

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1992 \ EXERCICE 1 5 points Dans le plan orienté, on considère la figure ci-contre : ABC et DEF sont deux tri- angles équilatéraux directs et (???AB ,???AC ) = (???DE ,???DF ) = pi 3 . On note G et H les points tels que EDBG et CDFH soient des parallélogrammes. Le but de l'exercice est de démontrer de deux manières (l'une utilisant les affixes complexes, l'autre utilisant des composées de déplacements) que le triangle AGH est équilatéral. b b b b b b b b A B C D E F G H I Leplanorienté étant rapporté à un repère orthonormal direct, onnote a,b,c ,d ,e, f ,g ,h les affixes respectives des points A, B, C, D, E, F, G, H. 1. Montrer que : c ?a = ei pi3 (b ?a). 2. Exprimer ( f ?d) en fonction de (e ?d). 3. Exprimer g en fonction de b, d , e et h en fonction de c, d , f . 4. Démontrer que : h?a = ei pi3 (g ?a).

• courbe


• courbe représentative dans le plan orienté


• plan orienté


• position de la courbe


• translation de vecteur ???dc


• direct


• repère orthonormal direct

Sujets

• Courbe
• Direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 1992
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatCAmériqueduSudnovembre1992\
EXERCICE1 5points
Dans le plan orienté, on considère la figure ci-contre : ABC et DEF sont deux tri-
angleséquilatérauxdirectset
³ ´ ³ ´?! ?! ?! ?! π
AB,AC ? DE,DF ? .
3
OnnoteGetHlespointstelsqueEDBGetCDFHsoientdesparallélogrammes.
Le but de l’exercice est de démontrer de deux manières (l’une utilisant les affixes
complexes, l’autre utilisant des composées de déplacements) que le triangle AGH
estéquilatéral.
F
E
D
H
G
B
C
A
ILeplanorientéétantrapportéàunrepèreorthonormaldirect,onnotea,b,c,d,e,f,g,h
lesaffixesrespectivesdespointsA,B,C,D,E,F,G,H.
1. Montrerque:
πi 3c?a?e (b?a).
2. Exprimer(f ?d)enfonctionde(e?d).
3. Exprimerg enfonctiondeb,d,e eth enfonctiondec,d, f.
4. Démontrerque:
πi 3h?a?e (g?a).
EndéduirequeletriangleAGHestéquilatéral.
II.Onnote:
?!
t latranslationdevecteurBD,1 ?!
t latranslationdevecteurDC,2
π
R larotationdecentreDetd’angledemesure .
3
OnposeT?t ?R?t .2 1
bbbbbbbbBaccalauréatC A.P.M.E.P.
1. JustifierqueT estunerotationetprécisersonangle.
Déterminerl’imagedeBparT etendéduirelecentredelarotationT.
2. Déterminerl’imagedeGparT etmontrerqueletriangleAGHestéquilatéral.
EXERCICE2 4points
Onconsidèrelasuite(u ) àtermespositifs,tellequeu ?5etvérifiantpourtoutn n2N 0p
entiernatureln : u ? u ?12.n?1 n
1. Montrerque,pourtoutentiernatureln,u >4.n
2. On se propose, dans cette question, d’étudier de deux manières la conver-
gencedecettesuite.
A.Premièreméthode
a. Montrerquelasuiteestdécroissante.
b. Déduire de ce qui précède que la suite est convergente, puis trouver sa
limite.
B.Deuxièmeméthode
a. Montrerque,pourtoutentiernatureln,
1
u ?46 (u ?4).n?1 n
4
b. Montrerque,pourtoutentiernatureln,
1
06u ?46 .n n4
c. Endéduirequelasuiteconvergeettrouversalimite.
PROBLÈME 12points
PartieA
p
xSoit f lafonctiondéfiniesur[0;?1[par f(x)??e .
Onappelle(C)sacourbereprésentativedansleplanorientéP rapportéàunrepère³ ´!? !?
orthonormaldirect O, u , v [unitégraphique:2cm].
01. a. Justifierladérivabilitéde f sur]0;?1[etcalculer f (x)pourtoutréelx
decetintervalle.Lafonction f est-elledérivableenO?
b. Préciser le sens de variation de f sur [0 ; ?1[. Étudier la limite de f en
?1.
Dresserletableaudevariationde f.
2. Donneruneéquationdelatangente(T)àlacourbe(C)aupointAd’abscisse
1.
t3. Soitϕlafonctiondéfiniesur]0;?1[parϕ(t)?et?e etg lafonctiondéfinie
sur]0;?1[par:
p e exg(x)??e ? x? .
2 2
a. Étudierlesvariationsdeϕsur]0;?1[.
AmériqueduSud 2 novembre1992BaccalauréatC A.P.M.E.P.
0b. Sig estlafonctiondérivéedeg,montrerque,pourx strictementpositif:
¡ ¢p
ϕ x0g (x)? .p
2 x
c. Déduire des questions précédentes le sens de variation de g et le signe
deg(x)suivantlesvaleursdex.Étudieralorslapositiondelacourbe(C)
parrapportàsatangente(T)aupointA.
³ ´!? !?
4. Construire dans le repère O, u , v la droite (T), la tangente à (C) au point
d’abscisse0etlacourbe(C).
5. Onnote(D)lapartieduplanlimitéeparlacourbe(C),l’axedesordonnéeset
ladroite(Δ)d’équation y??e.
SiA désigne,enunitésd’aire,l’airedudomaine(D)justifierque:
Z1
A ?e? f(x)dx.
0
PartieB
π
Soitr larotationdecentreOetd’angledemesure .
2
01. Si M est un point du plan P d’affixe z?x?iy et M son image par r d’affixe
0 0 0 0 0 0z ?x ?iy ,exprimer z enfonctiondez etendéduirex et y enfonctionde
x et y.
0 02. Soit(C )l’imagede(C)parlarotationr.Montrerque(C )estlacourberepré-
2sentativedelafonctionF définiesur[1;?1[parF(x)?(lnx) .
03. Onadmetquel’image de(D)par larotationr estla partie(D )duplan com-
0priseentre(C )etlesimagesparr deladroite(Δ)etdel’axedesordonnées.
a. ÉtudierlesvariationsdeF etlalimitedeF en?1.Dresserletableaude
variationdeF.
0b. Construiresurlemêmegraphiquequelacourbe(C),ladroite(T )image
0de(T)parr etlacourbe(C ).
c. Àl’aide dedeux intégrations par parties, calculer, en unités d’aire,l’aire
0de(D ).Endéduirealors:
Z1 p
tI? e dt.
0
PartieC
Z1 p
tOnseproposedanscettequestiondecalculerI? e dt d’uneautremanière.
0
?Onappelleh lafonctiondéfiniesurR par
Zx p
th(x)? e dt
0
? 2etk lafonctiondéfiniesurR park(x)?x .
?OnnoteΨlafonction(h?k)définiesurR .
1. a. CalculerΨ(0).
?b. Justifier la dérivabilité deΨ sur R et montrer, pour tout x réel, que
xΨ(x)?2xe .
0 xc. Endéduire,pourx réelqueΨ (x)?2(x?1)e ?2.
2. Calculeralors:
Z1 p
tI? e dt.
0
AmériqueduSud 3 novembre1992