Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1994

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1994 \ EXERCICE 1 4 points Enseignement obligatoire Une boîte contient 60 boules blanches et 40 boules noires. On effectue dans cette boîte des tirages successifs avec remise de chaque boule après tirage. On s'arrêtera à l'obtention d'une boule blanche. A. Dans cette question, on ira au maximum à 4 tirages. On appellera X la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l'obtention de la première boule blanche. Par convention, X sera égal à 0 si l'on n'obtient pas de boule blanche après les 4 tirages. 1. Calculer la probabilité pour que X soit égal à O. 2. Calculer la probabilité pour que X soit égal à k, k valant successivement l, 2, 3 et 4. B. Dans cette question, onprocédera à n tirages aumaximum, n étant un entier naturel non nul. De même, on appellera X la variable aléatoire égale au nombre de tirages néces- saires à l'obtention de la première boule blanche et ici encore X sera nul si l'on n'obtient pas de boule blanche après n tirages. 1. Calculer la probabilité pour que X soit égal à k, k étant un entier naturel va- riant de 1 à n. 2. On considère le polynôme P tel que : P (x)= 1+2x +3x2 +·· ·+nxn?1.

• a? d'affixes respectives


• application du plan


• courbe d'équation


• variable aléatoire


• obtention de la première boule


• boule blanche


• axe focal


• points enseignement obligatoire


• repère orthonormal direct

Sujets

• Variable aléatoire

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1994
• Nombre de lectures: 201
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1994\

E X E R C IC E 1 4points Enseignement obligatoire Une boîte contient 60 boules blanches et 40 boules noires. On effectue dans cette boîte des tirages successifs avec remise de chaque boule après tirage. On s’arrêtera à l’obtention d’une boule blanche. A. Dans cette question, on ira au maximum à 4 tirages. On appelleraXla variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l’obtention de la première boule blanche. Par convention, X sera égal à 0 si l’on n’obtient pas de boule blanche après les 4 tirages. 1.Calculer la probabilité pour queXsoit égal à O. 2.Calculer la probabilité pour queXsoit égal à k, k valant successivement l, 2, 3 et 4.

B. Dans cette question, on procédera àntirages au maximum,nétant un entier naturel non nul. De même, on appelleraXla variable aléatoire égale au nombre de tirages néces saires à l’obtention de la première boule blanche et ici encoreXsera nul si l’on n’obtient pas de boule blanche aprèsntirages. 1.Calculer la probabilité pour queXsoit égal àk,kétant un entier naturel va riant de 1 àn. 2.On considère le polynômePtel que :

2n−1 P(x)=1+2x+3x+ ∙ ∙ ∙ +n x. Soit E(X) l’espérance de la variable aléatoireX. Montrer que : µ ¶ 3 2 E(X)=P. 5 5 3.On sait que pour tout réelxdifférent de 1, on a :

n+1 x−1 2n 1+x+x+ ∙ ∙ ∙ +x=. x−1 a.En dérivant les deux termes de l’égalité précédente, en déduire une autre expression de :

2n−1 1+2x+3x+ ∙ ∙ ∙ +n x. µ ¶µ ¶ n 5 52 b.En déduire que E(X)= −n+. 3 35

E X E R C IC E 2 5points Enseignement de de spécialité ³ ´ −→−→ Dans le plan rapporté à un repère orthonormal directO,u,vd’unité graphique 2 cm, on considère l’ensemble E des pointsMd’affixeztels que :

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

1 ¯ ¯ |z−1−i| =z+z−8(1+i) . 4 1.Soitpl’application du plan dans luimême, qui à un pointMd’affixezassocie ′ ′ le pointMd’affixeztel que : 1 £ ¤ ′ z=z−z+8(1+i) . 2 ′ ′′ ′′ On pourra poser :z=x+iyetz=x+iyoùx,y,xetysont des réels. a.Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan tels quep(M)=M. ′ b.Montrer que pour tout pointM, les coordonnées du pointMvérifient ′ ′ l’équation :x+y−8=0. On appellera (D) la droite décrite par les points ′ M. −−−→ ′ c.Montrer queM Mest vecteur normal à la droite (D). Caractériser géo métriquement l’applicationp. 2.On se propose de déterminer l’ensemble E défini au début de l’exercice. 1 ¡ ¢ ′ a.Montrer que :z−z=z+iz−8(1+i . 2 b.En déduire que l’ensemble E est une ellipse de foyer F d’affixe (1+i) et de 1 directrice (D), d’excentricité. Préciser l’axe focal. 2 ′ c.Vérifier que les points A et Ad’affixes respectives (2+2i) et (−2−2i) sont deux sommets de E. 3.Allure de l’ensemble E. ³ ´ −→−→ a.O,Construire dans le repèreu,vla droite (D), l’axe focal, les points ′ A, Aet F. b.Déterminer géométriquement les deux autres sommets de l’ellipse. c.Donner l’allure de E.

P R O B L È M E 11 points On notef(X) l’aire de la région comprise entre la courbe d’équation «y=lnx», l’axe des abscisses et les droites d’équations «x=1 » et «x=X» (avecX6=1).

1

0 0

1

X

L’objet du problème est l’étude de quelques équations du typef(X)=koùXest l’inconnue etkun entier naturel fixé. Partie A

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Baccalauréat C

1.À l’aide d’une intégration par parties, montrer que :

A. P. M. E. P.

f(X)=XlnX−X+1. 2. a.Calculer la limite def(X) quandXtend vers+∞. b.Montrer que la fonctionfest croissante sur [1 ;+∞[ et dresser son ta bleau de variations. c.En déduire que pour tout entier naturelk, l’équationf(X)=ka exacte ment une solution. On noteX k cette solution. 3.CalculerX 0 etX 1 . 4. a.À l’aide des variations de la fonctionf, montrer que la suite (X k ) est stric tement croissante. b.Montrer que pour tout entier naturelk: Z X k+1 lntdt=1. X k Sachant que pour touttélément de l’intervalle [X k ;X k+1 ], on a :

lnX k 6 lnt 6 lnX k+1 , en déduire que pour tout entier naturelkon a :

( X k+1 −X k ) lnX k 6 1 6 ( X k+1 −X k ) lnX k+1 puis que pour tout entier naturelk > 1 on a :

1 1 X+X k 6 k+1 6 X k +. lnX k+1 lnX k 1 c.Montrer que :X 2 6 e+1 puis queX 2 > e+. ln(e+1)

Partie B −2 On se propose dans cette partie, de rechercher une valeur approchée deX 2 à 10 près. 1. a.Vérifier queX 2 est dans l’intervalle I = [3 ; 4]. 1 1+ x b.Montrer queX 2 est solution de l’équationx=e . 1 1+ x 2.SoitΦla fonction définie sur I parΦ(x)=e . a.Étudier les variations deΦ. b.Montrer que l’image de I parΦest incluse dans I. 4 ′ ¯ ¯ c.Montrer que pour toutxde I on a :Φ(x) 6 . 9 3.Soit (U n ) la suite définie parU 0 =3 et, pour tout entier natureln: U n+1 =Φ ( U n ). a.Montrer par récurrence que pour tout entiern,U n appartient à l’inter valle I. b.Montrer que pour tout entiernon a :

4 | U n+1 −X 2 | 6 | U n −X 2 | . 9 (On se rappellera queΦ ( X 2 ) =X 2 .) En déduire que pour tout entiernon a : µ ¶ n 4 | U n −X 2 | 6 . 9

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

c.Déterminer un entierntel queU n soit une valeur approchée deX 2 à −2 10 près, Donner cette valeur approchée deX 2 .

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