Baccalauréat C Asie 1 juin 1994

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Asie 1 juin 1994 \ EXERCICE 1 4 points Enseignement obligatoire Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? ) (unité graphique : 1 cm). Soit C la courbe dont une représentation paramétrique est : ? ? ? x = 1 cos? y = tan? ? appartient a l'union de ] ? pi 2 ; pi 2 [ et de ] pi 2 ; 3pi 2 [ . 1. a. Donnez les coordonnées d'un vecteur directeur??u de la tangente à C au point de paramètre ?. b. Montrer qu'une équation cartésienne de la tangente T?, au point de pa- ramètre ? est : x? y sin??cos?= 0. 2. Montrer que tout point de C appartient à la courbe C d'équation : x2? y2 = 1. On admettra que C =H . En déduire la nature de C . Préciser son centre, ses sommets, ses foyers F et F? et ses asymptotes. Construire C et la tangente T?. 3. Soient K et K? les projections orthogonales respectives des foyers F et F? sur la tangente T?. Calculer FK et F?K? en fonction de ? et vérifier que FK ·F?K? = 1. EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité Dans le plan orienté, soit ABC un triangle tel que l'angle (??AB , ???AC ) ait pour mesure ? appartenant à ]0 ; pi[.

• affixe du vecteur ???ad


• courbe représentative dans le plan


• plan orienté


• repère orthonormal


• courbes ?


• tangente t?


• vecteur ???bc

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1994
• Nombre de lectures: 13
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

1 [juin 1994Baccalauréat C Asie\

E X E R C IC E points1 4 Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO,ı,(unité graphique : 1 cm). SoitCla courbe dont une représentation paramétrique est :  1  x= cosϕ  y=tanϕ ¸ · i h π ππ3π ϕappartient a l’union de−; et.de ; 2 22 2 −→ 1. a.Donnez les coordonnées d’un vecteur directeurude la tangente àCau point de paramètreϕ. b.Montrer qu’une équation cartésienne de la tangenteT ϕ , au point de pa ramètreϕest :

x−ysinϕ−cosϕ=0. 2.Montrer que tout point deCappartient à la courbeCd’équation :

2 2 x−y=1.

On admettra queC=H. ′ En déduire la nature deC. Préciser son centre, ses sommets, ses foyers F et F et ses asymptotes. ConstruireCet la tangenteT ϕ . ′ ′ 3.Soient K et Ksur lales projections orthogonales respectives des foyers F et F tangenteT ϕ . ′ ′′ ′ Calculer FK et F Ken fonction deϕet vérifier que FK∙F K=1.

E X E R C IC E points2 4 Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Dans le plan orienté, soit ABC un triangle tel que l’angleAB ,AC aitpour mesure αappartenant à ]0 ;π[. ³ ´ −−→−→ On construit extérieurement au triangle les carrés ACRS, BAMN (on a doncAM ,AB= ³ ´ π −→→− π et AC, AS=), puis le parallélogramme MASD dont on notera le centre I. Faire 2 2 une figure. Le but de l’exercice est de montrer que la droite (AD) est une hauteur du triangle ABC et que AD = BC. Pour cela, on utilisera deux méthodes. 1. Méthodegéométrique π On considère la rotationrde centre A, d’ angle. 2 a.Quelles sont les images des points M et C parr? ′ ′ b.On note Sl’image de S parr. Montrer que A est le milieu de [CS ]. 1. Japon,HongKong, Singapour

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

′ ′′ c.On note Il’image de I parr. Montrer que Iest le milieu de [BS ]. d.En déduire que (AD) est perpendiculaire à (BC) et que AD = BC. 2. Utilisationdes nombres complexes Le plan est muni d’un repère orthonormal direct. On désigne para,b,cles affixes respectives des points A, B, C. a.Calculer les affixes des points S et M en fonction de celles de A, B, C. −→−→ b.et celle du vecteur BC .Calculer l’affixe du vecteur AD −→−→ c.et BCMontrer que ADsont orthogonaux et que AD = BC.

P R O B L È M E 12 points La partie III est indépendante des parties I et II Partie I On considère la fonction numériquefde la variable réellexdéfinie sur [0 ;+∞[ par : −x f(x)=xe . On noteΓsa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (0 ; r. n (unité graphique : 10 cm). 1.Étudier la dérivabilité defen 0 ; que peuton en conclure pour la courbeΓ? 1−2x ′ 2.Montrer que pourx>0 on af(x)=. Étudier le sens de variations def. 2x 3.Étudier la limite defen+∞. Que peuton en conclure pourf? 4.Tracer soigneusement la courbeΓ.

Partie II Le but de cette partie est la résolution de l’équationf(x)=xsur ]0 ;+∞[. 1.On poseg(x)=lnx+2x. a.Montrer que sur ]0 ;+∞[, les équationsf(x)=xetg(x)=0 sont équiva lentes. b.Étudier les variations deget en déduire que l’équationg(x)=0 admet une seule solution sur ]0 ;+∞[ que l’on noteraα. Montrer queαappar tient à l’intervalle [0,4 ; 0,5]. 2.En utilisant la courbeΓdonner une interprétation deαet en donner une va leur approchée. 3. a.Montrer que six∈[0, 4; 0,5] on af(x)∈[0, 4; 0,5]. 1 ¯¯ ′ b.Montrer que pourx∈[0, 4; 0,5], on af(x) 6 . 8 2x−1 ′ ¯¯ On pourra montrer d’abord quef(x)=f(x). ¯¯ 2x 4.On définit la suiteuparu 0 =0, 4et pour toutndeN,u n+1 =f ( u n ). a.Montrer que pour toutndeN,u n ∈5].[0, 4; 0, 1 b.Montrer que pour toutndeN, on a | u n+1 −α | 6 | u n −α | . 8 1 c.En déduire que pour toutndeN, | u n −α | 6 0, 1×. n 8 d.En déduire que la suiteuest convergente et préciser sa limite. 5.En utilisant la relation établie au 4. c., à partir de quelle valeurn 0 deneston −6 sûr queu n représente une valeur approchée deαprès ?à 10 Cal ruà l’aide de votre ca cule n 0 lculatrice.

Asie

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Baccalauréat C

Partie III SoitFla fonction définie sur [0 ;+∞[ par : Z x p −t F(x)=te dt. 0 On ne cherchera pas à calculerF. 1.Préciser le sens de variation deF. p 1 2. a.Montrer que pourt > 0 on a :t 6 t+. 4 Z µ¶ x 1 −t b.En déduire queF(x) 6 tet+dt. 0 4 Z µ¶ x 1 −t c.Calculertet+dt. 0 4 5 d.En déduire queF(x) 6 . 4

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