Baccalauréat C Centres étrangers septembre 1993

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Centres étrangers septembre 1993 \ EXERCICE 2 5 points Dans cet exercice n désigne un entier naturel non nul. Pour tout n on pose In = (?1) n n! ∫e 1 (ln t)n dt . 1. a. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que I1 =?1. b. Montrer que, pour tout n, on a : In+1 = In + (?1) n+1 (n+1)! e. c. Montrer que, pour tout n, on a : In = e ( 1 0! ? 1 1! + 1 2! ?·· ·+ (?1)n n! ) ?1. 2. a. Démontrer que : 06 ∫e 1 (ln t)n dt 6 e?1. b. En déduire que : |In |6 e?1n! . c. Que peut-on en déduire pour la suite (In ) ? 3. Pour tout n, on pose : Sn = 10! ? 1 1! + 1 2! ?·· ·+ (?1)n n! . Déduire des questions précédentes la limite de la suite (Sn) EXERCICE 2 4 points Un concours se présente sous la forme d'un «questionnaire à choixmultiples » com- portant 10 questions.

• centre de la feuille


• ranger dans l'ordre croissant les réels ?


• feuille de papier millimétré


• points d'intersection de l1 avec l'axe

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1993
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Centres étrangers septembre 1993\

E X E R C IC E 2 Dans cet exercicendésigne un entier naturel non nul. Z n e (−1) n Pour toutnon poseI n =(lnt) dt. n! 1

1. a.À l’aide d’une intégration par parties, montrer queI 1 = −1. n+1 (−1) b.Montrer que, pour toutn, on a :I n+1 =I n +e. (n+1)! c.Montrer que, pour toutn, on a : µ ¶ n 1 1 1(−1) I n =e−∙ ∙ ∙ +− + −1. 0! 1! 2!n! Z e n 2. a.Démontrer que : 0 6 (lnt) dt 6 e−1. 1 e−1 b.En déduire que : | I n | 6 . n! c.Que peuton en déduire pour la suite (I n ) ? n 1 1 1(−1) 3.Pour toutn, on pose :S n = − + −∙ ∙ ∙ +. 0! 1! 2!n! Déduire des questions précédentes la limite de la suite (S n )

5 points

E X E R C IC E points2 4 Un concours se présente sous la forme d’un « questionnaire à choix multiples » com portant 10 questions. Chaque question propose 3 réponses possibles dont une et une seule est exacte. Le candidat doit obligatoirement cocher une réponse et une seule par question. 1.De combien de façons différentes un candidat peutil remplir un question naire ? 2.En remplissant le questionnaire au hasard, quelle est la probabilité pour que le candidat ait répondu correctement à : a.toutes les questions ? b.aucune question ? c.au moins une question ? 3.Le jury a établi le barème donné dans le tableau cidessous : numéro de la question 101 2 3 4 5 6 7 8 9 nombre de points attribués 1 1 1 2 2 2 4 4 4 8 si la réponse est exacte nombre de points attribués 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 si la réponse est fausse Soit X la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus. Quelle est la probabilité pour que X > 27 ?

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

N.B. : Pour les valeurs des probabilités, on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale avec deux chiffres significatifs.

P R O B L È M E 10 points ³ ´ −→−→ On considère le plan orientéPrapporté à un repère orthonormal directR= O,ı,. 9 ⋆ On notePle plan privé de O etDla droite d’équationx=. 4 Les courbes demandées seront tracées sur une feuille de papier millimétré. L’origine O du repère sera placée au centre de la feuille et l’unité graphique sera de 1 cm. Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante. Partie A Étude d’une conique 4 SoitCla conique de foyer O, de directriceDet d’excentricité. 5 MO 4 (On rappelle queCest l’ensemble des pointsMdePtels que=où H est la M H5 projection orthogonale deMsurD. 1. a.Déterminer la nature et une équation cartésienne deCdans le repère . b.Préciser son centre, ses axes et ses sommets.R. c.TracerC. 2.SoitMun point quelconque du plan, distinct de O, ettune mesure de l’angle ³ ´ −→−−→ ı, OM. a.Montrer que, siMappartient au demiplan défini parx<4, alors la dis 9 tance deMàDest égale à−OMcost. 4 b.Montrer queMappartient àCsi et seulement si

OM(4 cost+5)=9 . c.En déduire queCest l’ensemble des points d’affixe 9 it e 4 cost+5 oùtappartient àR. Partie B

Étude d’une courbe 9 it SoitCl’ensemble des points d’affixee oùtappartient àR. 4 cost+5 ⋆ Soitϕla transformation dePdans luimême qui à tout pointM(t) d’affixezasso 9 ′ ′ cie le pointMd’affixez=. z On noteLl’image deCparϕ. Soientfetgles fonctions définies surRpar :

f(t)=(4 cost+5) costetg(t)=(4 cost+5) sint. 1.Montrer queLest l’ensemble des pointsM(t) de coordonnées (x;y) telles quex=f(t) ety=g(t), oùtappartient àR. 2.Étude de la fonctionf

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

′′ a.Calculerf(t) et factoriser le résultat obtenu. 5 b.Montrer qu’il existe un unique élémentαde [0 ;π] tel que cosα= −. 8 ′′ ′′ c.En déduire les valeurs detqui annulentf(t) et le signe def(t), pourt appartenant à [0 ;π]. 3.Étude de la fonctiong ′2 a.Montrer queg(t)=8 cost+5 cost−4. b.Déterminer les racines et le signe du polynôme

2 P(X)=8X+5X−4. ′ c.En déduire que, sur [0 ;π], il existe un unique réelβtel queg(β)=0. ′ d.Déterminer le signe deg(t) sur [0 ;π]. oùtappartient àR. π2π 4. a.Ranger dans l’ordre croissant les réelsα,β., et 2 3 b.Faire un tableau récapitulatif des variations defetgsur [0 ;π]. (On ne cherchera pas à calculer les valeurs exactes des images deαetβ.) 5.On noteL 1 la partie deLformée des pointsM(t) avectappartenant à [0 ;π]. ³ ´ −→ a.Déterminer les points d’intersection deL 1 O,avec l’axe. π2π b.Placer les pointsM(t) pourtégal àα,β, et, 0,πet les tangentes à 2 3 L 1 parallèles aux axes, puis tracerL 1 . c.Terminer, en justifiant, le tracé deL.

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