Baccalauréat C Clermont Ferrand juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1981 \ EXERCICE 1 3 POINTS n désigne un entier naturel. 1. Étudier suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de 7n par 9. 2. Démontrer que, quel que soit n, 7n +12n?1 est divisible par 9. EXERCICE 2 5 POINTS Le symbole ln désigne le logarithme népérien. (Les candidats peuvent toutefois, s'ils le désirent le remplacer par log). Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par f (x)= ln e 2x +5 ex ?2 sur l'ensemble E des points de R pour lesquels cette expression a un sens. (C ) est la courbe représentative de la fonction f , construite relativement à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 1. a. Quel est l'ensemble E de définition de la fonction f ? b. Étudier le sens des variations de f , ainsi que ses limites éventuelles aux bornes de l'ensemble E . c. On pose pour tout x appartenant à E : ?(x)= f (x)? x. Étudier la limite éventuelle de ?(x) lorsque x tend vers +∞, ainsi que le signe de ?(x). Que peut-on en conclure pour (C ) ? d.

• raisonnements évitant des calculs superflus


• tion cartésienne dépendant


• nature de l'application st


• repère


• signe de ?

Sujets

• Repère

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1981
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C ClermontFerrandjuin 1981\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS ndésigne un entier naturel. n 1.Étudier suivant les valeurs den, le reste de la division euclidienne de 7par 9. n 2.Démontrer que, quel que soitn, 7+12n−1 est divisible par 9.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Le symbole ln désigne le logarithme népérien. (Les candidats peuvent toutefois, s’ils le désirent le remplacer par log). Soitfla fonction numérique de la variable réellexdéfinie par 2x e+5 f(x)=ln x e−2 sur l’ensembleEdes points deRpour lesquels cette expression a un sens. (C) est la courbe représentative de la fonctionf, construite relativement à un repère ³ ´ −→−→ orthonormé O,ı,.

1. a.Quel est l’ensembleEde définition de la fonctionf? b.Étudier le sens des variations def, ainsi que ses limites éventuelles aux bornes de l’ensembleE. c.On pose pour toutxappartenant àE:

ϕ(x)=f(x)−x.

Étudier la limite éventuelle deϕ(x) lorsquextend vers+∞, ainsi que le signe deϕ(x). Que peuton en conclure pour (C) ? d.Tracer (C). 2.Soit A l’image de ] ln 2 ; ln 5[ parfetFl’application de ]ln 2 ;ln 5[ sur A, définie pour toutx; lnln 2appartenant à ]5[ parF(x)=f(x). Montrer queEadmet une application réciproqueGdont on précisera les pro priétés : sens des variations, continuité, dérivabilité. Tracer sur la même figure que (C) la courbe représentative deG.

P R O B L È M E 12 P O IN TS Tout au long du problème les résultats qui seront obtenus par des raisonnements évitant des calculs superflus seront spécialement appréciés par le correcteur. ³ ´ −→−→ Le plan affine euclidien orientéEO,est rapporté à un repère orthonormé directı,. (On rappelle que, dansE, chaque angleαde vecteurs est associé à un nombre réel uniquetde l’intervalle ]−π;+π] qui est appelé sa détermination principale, ou sa mesure principale, qui vérifie cosα=cost, sinα=sint, et qui permet de le caracté ′ riser. On rappelle également que chaque angleαde droites est associé à un nombre réel unique de l’intervalle ]−π;+π] qui est encore appelé sa détermination princi pale ou sa mesure principale, et qui est la détermination principale de l’un des deux ′ angles de vecteurs qui représententα). Dans tout le problème aest un nombre réel strictement positif,

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

A est le point deEde coordonnées (a; 0), D est la droite d’équationx=a, fest une fonction réelle strictement positive de la variable réellet, définie sur l’intervalle ]−π;+π]. ³ ´ −→−→ Les affixes sont prises relativement au repèreO,ı,. Pour chaque valeur du paramètret, on notes t , l’application deEdansEqui à tout pointMd’affixezfait correspondre le pointM t =s t (M) d’affixez t , telle que z t =f(t)(cost+i sint)z. Partie A Quelle est la nature de l’applications t ? Quels sont les éléments géométriques qui la caractérisent ? ³ ´ −→−→ Donner les équations qui la définissent analytiquement par rapport au repèreO,ı,. −1 Donner également les équations qui définissent analytiquements. t Partie B i h π π Dans toute cette partie, la fonctionfest définie pour touttappartenant à−; 2 2 1 parf(t)=. cost i h π π 1.Montrer que siMest distinct de O, alors, pour touttappartenant à−; 2 2 le triangle OM M t est rectangle enM. Quel est l’ensembleJ(M) décrit par le i h π π pointM t , lorsquetdécrit l’intervalle−; ,le pointMrestant fixe ? 2 2 2.Montrer que l’image de D pars t , est une droite D t , dont on donnera une équa tion cartésienne dépendant seulement des paramètresaet tant. Montrer que la parabole P de foyer O, dont la tangente au sommet est D, a pour équation

2 y=4a(a−x). i h π π Montrer que pour touttappartenant à l’intervalle−; ,l’intersection de 2 2 D t et de P est formée par un point unique K, et que D t est tangente à P en ce point. i h π π Montrer que lorsquetdécrit l’intervalle−décrit toute la parabole P.; , 2 2 3.On noteCun cercle de centre A, dont le rayonRest strictement positif et différent dea. On désigne parΓla conique définie relativement au repère ³ ´ −→−→ O,ı,par l’équation

2 2 (x−a)y + =1. 2 22 R R−a Indiquer suivant les valeurs deR, la nature de la coniqueΓ. Déterminer son centre et ses foyers. Déterminer le centre et le rayon du cercleC t , image deCpars t . Montrer queC t est défini par l’équation :

2 22 2 (x−a)+(y−atant)=R(1+tant).

Montrer que lorsqueC t etΓse coupent, leur intersection est formée de deux ′ pointsN t etNsymétriques par rapport à D et on calculera l’ordonnée. t

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Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

Partie C Dans toute cette partie, la fonctionfest définie pour touttappartenant à l’intervalle i h π π −; parf(t)=cost. 2 2 On pose toujoursM t =s t (M). 1.Montrer que lorsqueMest distinct de O, le triangle OM M t est rectangle en M t . Quel est l’ensemble décrit parM t , lorsquetdécrit l’intervalle le pointMres tant fixe ? 2.On prendt6=0, on poseA t =s t (A). Donner la détermination principale de l’angle de droites défini par le couple (A M), (A t ,M t )). SoitH t le point d’intersection des droites (AM) et (A t ,M t ). Montrer que les points 0,H t ,A,A t sont cocycliques. Montrer que les points 0,H t M,M t sont cocycliques. Quelle est la projection orthogonale de O sur la droite (A M) ? 3.Soit D t , l’image de D pars t . Montrer que lorsquetvarie , D t passe par un point fixe.

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