Baccalauréat C juin Centres étrangers II

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C juin 1990 \ Centres étrangers II 1 EXERCICE 1 4 points (A, B, C) est un triangle, on pose BC = a, AC = b, AB = c. A' est le milieu du segment [BC], B' celui de [AC], C' celui de [AB]. Soit G l'isobarycentre du triangle (A, B, C). 1. Montrer que pour tout point M du plan, MA2+MB2+MC2 = 3MG2+ a 2+b2+c2 3 . 2. En calculant de deux façons différentes (???MA +???MB +???MC )2 établir que : 2???MA · ???? MA? +???MB ·???MC = 3MG2? a 2+b2+c2 3 . 3. On considère les points communs aux cercles de diamètres [AA?] et [BC],mon- trer que, lorsqu'ils existent, ils appartiennent à un cercle de centre G dont on donnera le rayon en fonction de a, b et c. EXERCICE 2 4 points On considère la suite u définie par : n ?N?, un = 1 n [ n ∑ k=1 ln(n+k) ] ? ln(n). (ln désigne le logarithme népérien de base e). 1.

• ???ma · ????


• avec? ?


• droite réelle


• points communs aux cercles de diamètres


• correspondance pour? ?

Sujets

• Nombre réel

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1990
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C juin 1990\ 1 Centres étrangers II

E X E R C IC E 1 (A, B, C)est un triangle, on pose BC =a, AC =b, AB =c. A’ est le milieu du segment [BC], B’ celui de [AC], C’ celui de [AB]. Soit G l’isobarycentre du triangle (A, B, C). 1.Montrer que pour tout pointMdu plan,

4 points

2 2 2 a+b+c 2 2 22 MA+MB+MC=3MG+. 3 −−→−−→−−→ 2 2.En calculant de deux façons différentes (MA+MB+MC )établir que :

2 2 2 −−→ −−→ −−→−−→ a+b+c ′2 2MA∙MA+MB∙MC=3MG−. 3 ′ 3.] et [BC], monOn considère les points communs aux cercles de diamètres [AA trer que, lorsqu’ils existent, ils appartiennent à un cercle de centre G dont on donnera le rayon en fonction dea,betc.

E X E R C IC E points2 4 On considère la suiteudéfinie par : " # n X 1 n∈N∗,u n =ln(n+k)−ln(n). n k=1 (ln désigne le logarithme népérien de base e). " # µ ¶ n X 1k 1.Démontrer queu n =ln 1+. n n k=1 2. a.Pourkentier, compris entre 0 etn−1, démontrer que : µ ¶Z µ¶ k+1 1+ 1k1k+1 n ln 1+ 6 ln(x) dx 6 ln 1+. k n n 1+ n n n b.En déduire que : Z 2 1 u n −ln(2) 6 ln(x) dx 6 u n . n 1 3.Déduire de ce qui précède un encadrement deu n et la limite deu n quandn tend vers+∞.

P R O B L È M E 12 points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonorméO,u,v(unité : 2 cm). A est le point d’affixe 2i. D est la droite d’équationy=2. Un point P décrivant la droite D, on se propose de construire l’ensembleSdes points ′ M et M’ de la droite (OP) tels que PM = PM= PA. (On appelle M le point deSsitué entre O et P.) ³ ´ −→−→ On noteΘ=uavec, OPΘ∈]0 ;π[.

1. Portugal,Grèce, Tunisie, Abou Dhabi

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

³ ´ −→−→ I.O,Placer le repèreu,v, la droite D et le point A (fig. 1). π π π3π ′ 1.pourConstruire les points M et MΘ=,Θ=,Θ=,Θ=. 6’ 4’ 2’ 6 4 24 4 2.L’ensembleScontientil A ? Contientil d’autres points de D ? 3.Montrer que (OA) est axe de symétrie deS. 4.SoitΔla médiatrice de [OA]. Montrer que si M appartient àSet àΔle point P d’intersection de (OM) avec D vérifie PO = 2PA. En déduire la construction sur la figure 1, deS∩Δpuis de 4 points deS. II. 1.Montrer que l’affixez p du point P est : cos(Θ) z p =2 . sin(Θ) ′ 2.Calculer les distances AP puis OMen fonction deΘ. ′ ′ En déduire l’affixezdu point Mpuis l’affixezdu point M. ′ 3. a.Vérifier que l’ensemble des points Mest la courbe paramétrée :  1+ |cos(Θ)|  x 1 (Θ)=2 cos(Θ) S 1 sin(Θ) Θ∈]0 ;π[.  y 1 (Θ)=2(1+ |cos(Θ)|) b.Vérifier que l’ensemble des points M est la courbe paramétrée :  1− |cos(Θ)|  x 2 (Θ)=2 cos(Θ) S 2 sin(Θ) Θ∈]0 ;π[.  y 2 (Θ)=2(1− |cos(Θ)|) III.On considère le domaine D = [−π; 0[∪]0 ;π] de la droite réelle et la courbe ¡ ¢ ′ paramétréeSformée des points de coordonnéesx(Θ) ;y(Θ) avec  1+cos(Θ)   x(Θ)=2 cos(Θ) si|Θ| 6=π sin(Θ) . x(π)=x(−π)=0   y(Θ)=2(1+cos(Θ)) 1.Comparer le point de coordonnées (x(Θ) ;y(Θ) et celui de coordonnées ′ (x(Θ) ;y(Θ)). Que peuton en conclu e pour la courbeS? 2.Calculer la limite lorsqueΘtend versπpar valeurs inférieures dex(Θ) x(π−h) et la limite lorsquehtend vers 0 par valeurs supérieures de, h ′ donner la valeur dey(π). Que peuton en déduire ? Calculer la limite lorsqueΘtend vers 0 par valeurs positives dex(Θ), de y(Θ). 3. a.Calculer, pour|Θ| 6=πla dérivée de la fonctionxet montrer qu’elle peut se mettre sous la forme : 2 cos (Θ)−cos(Θ)−1 2 . 1−cos(Θ) b.Donner pourΘ∈]0 ;π] le tableau des variations des fonctionsxet y. ³ ´ −→ ′ c.Préciser pourΘ∈]0 ;π] l’intersection de la courbeSavec l’axeO,v et la tangente à la courbe en ce point. ′ d.Préciser pourΘ∈]0 ;π] le point où la courbeSadmet une tangente −→ parallèle àv.

Centres étrangers II

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

¡ ¢ 4.Montrer que le pointx(Θ) ;y(Θ) représentesoit un point M soit un ′ point M; préciser cette correspondance pourΘ∈D. ′ 5.Représenter graphiquement la courbeSsur la figure 1 en indiquant les tangentes qui ont été calculées.

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