Baccalauréat C La Réunion septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C La Réunion septembre 1977 \ EXERCICE 1 3 POINTS Déterminer deux entiers naturels a et b tels que leur plus petit commun multiple soit 120 et la somme de leurs carrés 801. EXERCICE 2 5 POINTS Dans un plan affine euclidien P , on donne un cercle (C), centré en un point O, dont un diamètre est appelé [AA?]. Autres données : (D) , tangente en A? à (C), P, un point de (C), distinct de A et A? , (∆), médiatrice de (A, P), s,la symétrie orthogonale d'axe (∆), Q, le point d'intersection de la droite (D) avec la tangente en P à (C), t ,la translation de vecteur directeur ???OQ , M, l'image de A dans la translation t : M = t(A). 1. Démontrer que les points A, P, M sont alignés. 2. Démontrer qu'il existe deux isométries vectorielles du plan vectoriel pi associé à P , qui transforment ???QM en ???OP . En préciser la nature et les éléments. 3. Déterminer la nature et les éléments de l'application ponctuelle ? telle que t =?? s. 4. Démontrer qu'il existe deux isométries affines, dont on précisera les éléments, qui transforment le bipoint (Q, M) en le bipoint (O, P).

• symétrie orthogonale d'axe


• courbe représentative


• translation de vecteur directeur


• ??


• repère orthonormé

Sujets

• Graphe d'une fonction
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1977
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C La Réunion septembre 1977\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS Déterminer deux entiers naturelsaetbtels que leur plus petit commun multiple soit 120 et la somme de leurs carrés 801.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Dans un plan affine euclidienP, on donne un cercle (C), centré en un point O, dont ′ un diamètre est appelé [AA ]. Autres données : ′ (D) , tangente en Aà (C), ′ P, un point de (C), distinct de A et A, (Δ), médiatrice de (A, P), s,la symétrie orthogonale d’axe (Δ), Q, le point d’intersection de la droite (D) avec la tangente en P à (C), −−→ t,la translation de vecteur directeur OQ , M, l’image de A dans la translationt:M=t(A).

1.Démontrer que les points A, P, M sont alignés. 2.Démontrer qu’il existe deux isométries vectorielles du plan vectorielπassocié −−→−→ àP, qui transforment QMen OP . En préciser la nature et les éléments. 3.Déterminer la nature et les éléments de l’application ponctuelleϕtelle que t=ϕ◦s. 4.Démontrer qu’il existe deux isométries affines, dont on précisera les éléments, qui transforment le bipoint (Q, M) en le bipoint (O, P). L’une d’elles est une rotation dont le centre sera appelé I. 5.Montrer que le point I appartient à une parabole indépendante de la position du point P sur le cercle (C).

P R O B L È M E 12 P O IN TS Rdésigne le corps des réels,El’ensemble des applications continues deRdansR. E étant muni d’une addition notée + , telle que pour tout couple (f,g), élément de 2 E, et pour toutxréel,

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

et d’une multiplication par un réel notée∙, telle que pour toutf, élément deE, pour toutkréel, pour toutxréel,

(k∙f)(x)=k f(x), On admettraque (E,+,∙) est un espace vectoriel surR. À toute applicationf, élément deE, on associe la fonctionFtelle que, pour toutx réel, Z x+1 1 F(x)=f(t) dt. (1) 2 x−1 L’objet de ce problème est de proposer l’étude de – quelquespropriétés des fonctionsF, – quelquespropriétés de l’applicationTqui, àf, associeF, – quelquesfonctionsFparticulières.

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

N. B.Les parties B, C et D de ce problème sont totalement indépendantes les unes des autres. Le candidat les traitera dans l’ordre de son choix. Toute réponse non correctement justifiée sera considérée comme nulle. Partie A 1.On désigne parFla fonction telle que, pour toutXréel, Z X F(X)=f(t) dt. 0 Démontrer queFappartient àEet possède une dérivée continue surR. 2.Soit la fonctionν a :R→R,x→−7Xtel queX=x+a, oùaest réel donné. Démontrer que la fonction composée, lx+a Z x+a F◦ν a :R−→7R,x−→7 ( F◦ν a ) (x)=f(t) dt, 0 appartient àEet possède une dérivéecontinue, telle que pour toutxréel,

′ (F◦ν a ) (x)=f(x+a).

3.En déduire queF, définie cidessus par (1), appartient àEet possède une dé rivée continue, telle que, pour toutxréel,

1 ′ F(x)=[f(x+1)−f(x−1)] 2 Partie B

1.Vérifier que l’applicationTest un endomorphisme deE. Dans la suite, on utilisera la notationF=T(f). 2.SoitG:R→R,x−→7|x−1|.Gappartientelle àE?Gestelle dérivable surR? Existetilg, élément deE, telle queT(g)=G? L’applicationTestelle surjective ? 3.Soith:R→R,x7−→sinπx. DéterminerH=T(h). L’applicationTestelle injective ? 4.On appelleE 3 le sousespace vectoriel deE, ensemble des fonctions poly ˆ nômes de degré deux au plus. Montrer queE 3 est stable parT. On noteF l’application deE 3 dansE 3 définie par

ˆ F:f−7→T(f).

Testelle bijective ? Partie C Soitϕ:R→R,t−→7|t|.ϕappartientelle àE? 1.Démontrer queΦ=T(ϕ) est donnée par les formules :

1 ¡ ¢ 2 Φ(x)= |x|pour|x| > 1 etΦ(x)=1+xpour|x| 6 1. 2 En les rapportant à un même repère, représenter graphiquementϕetΦ. 1 2.Démontrer que, pour toutxréel,|x| 6 Φ(x) et 6 Φ(x), ainsi que, pour toutx 2 1 réel tel que|x| 6 1, 6 Φ(x) 6 1. 2

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Le baccalauréat de 1978

3.En distinguant les deux cas :

|u+v| > 1 et|u+v| 6 1, démontrer que quels que soientuetvréels,

A. P. M. E. P.

Φ(u)+Φ(v) > Φ(u+v). Partie D 2 Soitω:R→R,t→−7.ωappartientelle àE? 1+ |t| Dessiner la courbe représentative deω, rapportée à un repère orthonormé. Démontrer queΩ=T(ω) est donnée par les formules : ¡ ¢ 2 Ω(x)=Log 4−xpour|x| 6 1 et µ ¶ 2 Ω(x)=Log 1+pour|x| > 1. |x|

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