Baccalauréat C Lille juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Lille juin 1987 \ EXERCICE 1 5 POINTS 1. Trouver la fonction f deux fois dérivable sur R, solution de l'équation diffé- rentielle : y ???4y ?+3y = 0 et vérifiant les conditions f (0)= 4 et f ?(0)= 2. 2. a. Résoudre dans R l'équation X 3?5X ?2= 0. (On cherchera une solution particulière dans Z.) b. Résoudre dans l'équation f (x)=?2. 3. a. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs d'annulation de f . b. Dresser un tableau des valeurs numériques à 10?2 près par défaut, don- nées par la calculatrice, de f (x) pour les valeurs suivantes de x : 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,9 ; 1. c. Dans le plan rapporté à un repère orthogonal ( O, ??ı , ??? ) , avec ? ? ? ?? ı ? ? ? = 10 cmet ? ? ? ?? ? ? ? ?= 1 cm, tracer avec précision sur papiermillimétré la courbe représentative de f sur l'intervalle [0 ; 1].

• application du plan


• courbe


• vecteur directeur


• similitude directe


• droite de repère


• solution particulière dans z


• hyperbole d'équation x2?3y2


• directrice asso- ciée

Sujets

• Courbe
• Vecteur directeur
• Similitude (géométrie)

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1987
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Lille juin 1987\

E X E R C IC E 1 5 P O IN TS 1.Trouver la fonctionfdeux fois dérivable surR, solution de l’équation diffé rentielle :

′′ ′ y−4y+3y=0 ′ et vérifiant les conditionsf(0)=4 etf(0)=2. 3 2. a.Résoudre dansRl’équationX−5X−2=0. (On cherchera une solution particulière dansZ.) b.Résoudre dans l’équationf(x)= −2. 3. a.Étudier les variations de la fonctionfsur l’intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs d’annulation def. −2 b.près par défaut, donDresser un tableau des valeurs numériques à 10 nées par la calculatrice, def(x) pour les valeurs suivantes dex: 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,9 ; 1. ³ ´ −→ −→−→ c.Dans le plan rapporté à un repère orthogonalO,ı,, avec ° ı ° = ° −→ 10 cm et °  ° =1 cm, tracer avec précision sur papier millimétré la courbe représentative defsur l’intervalle [0 ; 1]. On tracera la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.

E X E R C IC E 2

1.Démontrer que pour tout réelx>0 et tout entiern>0 on a :

n (1+x)>1+n x.

4 P O IN TS

2.On dispose denboules numérotées de 1 àn. On les place toutes au hasard dansnboîtes (chaque boîtes pouvant contenir de 0 ànboules). On désigne parP n la probabilité que chaque boîte contienne exactement une boule. n! Montrer queP n =. n n 3.En utilisant le 1, montrer que pour tout entiern>0 on a :

P n > 2. P n+1 1 En déduire queP n 6 . n−1 2 Quelle est la limite deP n quandntend vers+∞?

P R O B L È M E 11 P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan orienté est muni du repère orthonormé directO,ı,. ³ ´³ ´ −→−→ On nomme D la droite de repèreO ;ıetΔO ;la droite de repère. ³ ´³ ´ −→−→−→−→−→−→ Soituetvdeux vecteurs non nuls tels qu’une mesure des anglesı,uet,v π soit+. 6

Le baccalauréat de 1987

A. P. M. E. P.

Par tout point M du plan on fait passer les droites D M etΔ M de vecteurs directeurs −→−→ uetv. D M coupe D en m etΔ M coupeΔen p. ′ On désigne par Mle point dont les projections orthogonales sur D etΔsont respec tivement m et p. ′ Soitfl’application du plan dans luimême qui à M associe M . A. 1.Construire l’image d’un point non situé sur D etΔ, puis celle d’un point de D distinct de O, puis celle d’un point deΔdistinct de O. 2.Quelle est l’image du point O ? 3.M étant un point quelconque du plan, distinct de O, démontrer : ′ a.sont sur un même cercle ;que les points O, m, p, M et M ′ b.est rectangle en M et que :que le triangle OMM ³ ´ −−→ −−→ π ′ OM ,OM=(mod 2π). 3 4.En déduire quefest une similitude directe que l’on précisera.

B.Le but de cette partie est de déterminer la nature de l’applicationfpar une mé thode différente de celle de la partie A Elle doit donc être résolue sans utiliser les résultats du A. M étant un point quelconque du plan, on note (x;y) ses coordonnées dans le repère ³ ´ −→−→ O,ı,. 1.Déterminer les coordonnées des points m et p en fonction dexety. En dé ′ ′′ duire que les coordonnéesxetysont :du point M ½ ′ x=x−y3 p ′ y=x3+y. ′ ′′ ′ 2.Soitz=x+iyl’affixe du point M etz=x+iycelle du point M . Démontrer ′ quezs’écritαz, oùαest un nombre complexe que l’on calculera. En déduire quefest une similitude directe et donner sa forme réduite.

C.Pour cette partie on fera une figure distincte de celles des parties précédentes et on prendra 2 cm comme unité de longueur. On pourra se servir de l’expression analytique defdonnée au B. ³ ´ −→−→ 2 2 1.SoitHl’hyperbole d’équationx−3y=3 dans le repèreO,ı,. Déterminer ses asymptotes, son foyer d’abscisse positive et la directrice asso ciée. Calculer son excentricité. Construire H. ′ 2.SoitHla courbe image de H par l’applicationf. ′ Prouver queHest une hyperbole dont on précisera l’excentricité. Déterminer ′ ′ un foyer deHet la directrice associée. ConstruireH. (On admettra que les ′ asymptotes deHsont les images parfdes asymptotes deH). ′ Démontrer queHest la représentation graphique de la fonctiongdéfinie par µ ¶ 3 6 g(x)=x+. 3x ′ 3.SoitLla droite d’équationx=2 etLson image parf. ′ ′2 Déterminer les points d’intersection deLetHl’aire de la. Calculer en cm ′ ′ partie du plan comprise entre la courbeHet la droiteL.

Lille

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juin 1987

Le baccalauréat de 1987

4.Interpréter graphiquement l’intégrale Z2 ?3 s Z 2 2 x −1 dx, 3 3

Lille

et en déduire sa valeur du résultat précédent.

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A. P. M. E. P.

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