Baccalauréat C Métropole septembre 1993

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole septembre 1993 \ EXERCICE 1 4 points Soit le nombre complexe u = 1+ i et u son conjugué. 1. a. Mettre u et u sous forme trigonométrique. b. Soit n un entier naturel. On pose : S =un +un . Déduire de a. que Sn = ?n cos ( n pi 4 ) où ?n est un réel à préciser en fonc- tion de n. c. Pour quelles valeurs de n a-t-on Sn = 0 ? d. Prouver que si n est pair, Sn est un entier relatif. 2. On suppose que n est un entier naturel pair et on pose n = 2m. a. Écrire, par la formule du binôme, les développements de (1+ i)2m et (1? i)2m à l'aide des puissances de i, puissances que l'on ne cherchera pas à simplifier dans cette question. b. Pour p entier naturel, simplifier : i2p+1+ (?i)2p+1 et i2p + (?i)2p . c. Exemple n = 24 (donc m = 12) : En utilisant les résultats du 1. et ce qui précède, montrer que : 12 ∑ p=0 (?1)pC2p24 = 212.

• courbe


• limite de ?n


• récurrence sur l'entier naturel


• centres respectifs


• fn


• courbe représentative de fn dans le plan rapporté


• entier naturel


• centres des similitudes planes directes

Sujets

• Courbe
• Entier naturel

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1993
• Nombre de lectures: 110
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Métropole septembre 1993\

E X E R C IC E points1 4 Soit le nombre complexeu=1+i etuson conjugué. 1. a.Mettreuetusous forme trigonométrique. n n b.Soitnun entier naturel. On pose :S=u+u. ³ ´ π Déduire de a. queS n =λ n cosnoùλ n est un réel à préciser en fonc 4 tion den. c.Pour quelles valeurs denatonS n =0 ? d.Prouver que sinest pair,S n est un entier relatif. 2.On suppose quenest un entier naturel pair et on posen=2m. 2m a.Écrire, par la formule du binôme, les développements de (1+(1i) et− 2m i) àl’aide des puissances de i, puissances que l’on ne cherchera pas à simplifier dans cette question. 2p+1 2p+1 2p2p b.Pourpentier naturel, simplifier : i+(−i) eti+(−i) . c.Exemplen=24 (doncm=12) : En utilisant les résultats du 1. et ce qui précède, montrer que :

12 X 2p p12 (−1) C=2 . 24 p=0

E X E R C IC E 2 4points Enseignement de spécialité ′ ′ Dans le plan orienté, on considère les cercles (C) et (C) de centres respectifs O et O, ′ ′ de rayonsRetR(R=1=R) sécants en A et B (A6=B). ′ 1.SoitS A la similitude plane directe de centre A qui transforme O en O. Préciser son rapport et son angle en fonction des données. Déterminer l’image de (C) parS A . © ª ′ ′ 2.(O,Soit I le barycentre du systèmeR) ; (O ,R) etJ le barycentre du système © ª ′ ′ (O,R) ; (O ,−R) . ′ ′ a.En prenant OO=5 cm,R=4 cm etR=2 cm, faire une figure dans laquelle apparaissent I et J. b.Montrer que les centres des similitudes planes directesStransformant ′ (C) en (C) sont sur le cercle (Γ) de diamètre [IJ]. Vérifier que A et B sont sur (Γ) ; construire (Γ). π π c.Montrer qu’il existe deux similitudes, d’angles respectifs+et−, trans 2 2 ′ formant (C) en (C). Préciser leurs centres respectifs. d.irectes quiMontrer que l’ensemble des centres des similitudes planes d ′ transforment (C) en (C) est le cercle (Γ).

P R O B L È M E 12 points On considère pournentier naturel non nul, la fonction numériquef n définie sur [0 ; 1] par :

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

2n f n (x)=x(lnx) pour0<x 6 1, etf n (0)=0. On note (C n ) la courbe représentative def n dans le plan rapporté à un repère or ³ ´ −→−→ thonormal O,ı,. Partie A p−t 1.Soitpun entier naturel ; en utilisant la limite dete lorsquettend vers+∞, p montrer que la limite dex(lnx) lorsquextend vers 0 est égale à 0. k p 2.En déduire, pour tout entierk > 1, la limite dex(lnx) lorsquextend vers 0. 3.Montrer quef n est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé en 0. Partie B

1.Étudier le sens de variation def 1 sur [0 ; 1]. n − 2 2. a.Montrer que pournentier supérieur ou égal à 1 : 0<e<1. b.L’entiernétant fixe (n > 1), résoudre dans ]0 ; 1] l’inéquation : n ln(x)+ 6 0 2 ′ c.Montrer que sin > 2, alorsf n ; 1] etest dérivable sur [0f(x) admet le n ³ ´ n n−1 même signe quelnx+(lnx) pourtoutxélément de ]0 ; 1] tel que 2 ′ f(x)6=0. n d.Étudier le sens de variation def n sur [0; 1] pourn > 2. (On distinguera deux cas, suivant la parité den, et on dressera les deux tableaux de va riations.) 3.L’unité graphique étant 10 cm, construire (C 1 ) et (C 2 ). Déterminer les coordonnées de leurs points communs. 4.Montrer que les courbes (C n ) passent par deux points indépendants den. Pré ciser les coordonnées de ces deux points.

Partie C Dans cette partie,tdésigne un réel appartenant à [0 ; 1] etndésigne un entier natu rel non nul. 1.Prouver que l’intégrale def n detà 1, existe. On pose Z Z 1 1 I n (t)=f n (x) dxetL n =f n (x) dx. t0 2.Montrer que la fonctiont−→7L n −I n (t) est la primitive sur [0 ; 1] de la fonction f n qui s’annule pourt=0. 3.En déduire queI n (t) admet pour limiteL n lorsquettend vers 0. 4.On considère la fonction numériqueFdéfinie sur [0 ; 1] par : x3 3 3 x x F(x)=ln(x)−pour 0<x 6 1, etF(0)=0. 3 9 ′ a.Prouver queFest dérivable sur ]0 ; 1] et calculerF(x) pourx∈]0 ; 1] ′ b.Prouver queFest dérivable en 0 et préciserF(0). c.En déduire queFest une primitive def 1 sur [0 ; 1]. CalculerL 1 .

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Baccalauréat C

5.Soitϕ n la fonction définie sur ]0 ; 1] par :

A. P. M. E. P.

1 3n ϕ n (t)= −t(lnt) . 3 a.Déterminer la limite deϕ n (t) lorsquettend vers 0. b.À l’aide d’une intégration par parties prouver que, pourtélément de ]0 ; 1] :

c.En déduire que :

n+1 I n+1 (t)=ϕ n (t)−I n (t). 3

n+1 L n+1 = −L n . 3 d.Prouver, par récurrence sur l’entier naturel non nuln, que :

n! n L n =(−1) . n 3+1 e.Calculer en fonction denl’aire (exprimée en unités d’aire) de la partie du plan limitée par la courbe (C n ) et l’axe des abscisses.

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septembre 1993