Baccalauréat C Montpellier septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Montpellier septembre 1979 \ EXERCICE 1 3 POINTS 1. Résoudre dans Z?Z l'équation : 5x?4y = 1. 2. Un entier naturel n s'écrit 52 dans un système de numération de base x et 43 dans un autre système de base y . Quelles sont les valeurs possibles de x et de y ? EXERCICE 2 4 POINTS À tout nombre complexe z on associe son image m dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Pour tout nombre complexe z différent de i, on pose : Z = 2z?4 z? i 1. Comment choisir l'image m de z pour que Z soit réel ? 2. Comment choisir l'image m de z pour que Z ait pour argument ?pi2 ? On peut traiter cet exercice par le calcul ou par un raisonnement géométrique. PROBLÈME 13 POINTS Les parties A et B sont deux exemples d'une même situation mathématique, dans un plan affine euclidien d'une part, en analyse d'autre part. Elles peuvent être traitées indépendamment. Partie A On donne un plan vectoriel euclidien E muni d'une base orthonormée (??ı , ??? j ) . On dira qu'un endomorphisme ? de E possède la propriété (A) lorsqu'il existe un réel k ?]0 ; 1[ tel que, pour tout ??u ?E, ? ? ?? (??u )? ? ?6 k ? ? ? ??u ? ? ? .

• matrice dans la base


• raisonnement géométrique


• euclidien associé au plan vectoriel


• xn ?a


• base orthonormée

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1979
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Montpellier septembre 1979\

E X E R C IC E 1 1.Résoudre dansZ×Zl’équation :

3 P O IN TS

5x−4y=1. 2.Un entier naturelns’écrit 52 dans un système de numération de basexet 43 dans un autre système de basey. Quelles sont les valeurs possibles dexet dey?

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS À tout nombre complexezon associe son imagemdans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Pour tout nombre complexezdifférent de i, on pose : 2z−4 Z= z−i 1.Comment choisir l’imagemdezpour queZsoit réel ? π 2.Comment choisir l’imagemdezpour queZait pour argument−? 2 On peut traiter cet exercice par le calcul ou par un raisonnement géométrique.

P R O B L È M E 13 P O IN TS Les parties A et B sont deux exemples d’une même situation mathématique, dans un plan affine euclidien d’une part, en analyse d’autre part. Elles peuvent être traitées indépendamment.

Partie A ³ ´ −→−→ On donne un plan vectoriel euclidien E muni d’une base orthonorméeı,j. On dira qu’un endomorphismeϕde E possède la propriété (A) lorsqu’il existe un −→ réelk∈]0 ; 1[ tel que, pour toutu∈E, ³ ´ −→−→ ° ϕu ° 6 k ° u ° .

³ ´ −→−→ 1.ϕest défini par sa matrice dans la baseı,j   2 1 −   3 3   1 1 2 2 −→−→−→ On poseu=rcosθı+rsinθ (r>0 ;0 6 θ<2π). Calculer en fonction deretθ: ³ ´ 2 −→−→ F(r,θ)= ° ϕrcosθı+rsinθ  ° .

3 et démontrer queϕpossède la propriété (A), par exemple pourk=on 2 pourra mettreF(r,θ) sous la formeA+Bcos 2θ+Csinθcosθ.

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

2.Soit P un plan affine euclidien associé au plan vectoriel E, muni d’un repère or ³ ´ −→−→ thonormé O,ı,etfune application affine de P dans P dont l’endomor phisme associé, notéϕ, possède la propriété (A). 1 E est l’application identité de E. Démontrer que l’endomorphismeϕ−1 E est bijectif. En déduire quefpossède un point invariant et un seul,Ω, déterminé par l’équation : ³ ´ −−→ −−→−−→ ′ ′ ϕOΩ−OΩ=O Ooù O=f(O).

SoitM 0 un point du plan P. On définit la suiteM 0 ,M 1 , .. . ,par :

M n =f ( M n−1 ) n=. .1, 2, . −−−→ Démontrer quelim ° ΩM n ° =0. n→+∞ ¡ ¢ 3.On considère les suites numérique (x n ) ,y n définies par  x 0 =y 0 =0   2 1 x n =x n−1 −y n−1 +2 3 3 1 1   y n =x n−1 +y n−1 −1 2 2 ¡ ¢ Démontrer que les suites (x) etysont convergentes et déterminer n n ∈N n n∈N leurs limites,

Partie B a est un réel strictement positif. On donne l’application : f: ]0;+∞[→R 3 2a x−→7x+ 2 3 3x

1.Construire la courbe représentative. On étudiera particulièrement le point d’in tersection avec la droitey=xet la tangente en ce point. 2.Soitx 0 ∈R;x 0 >a. On pose ⋆ x n =f ( x n−1 ) pourn∈N Démontrer que l’on a :

⋆ a<x n <x n−1 pour toutn∈N Etablir l’inégalité : 2 ′ 0 6 f(x) 6 (x−a) pourx > a a En déduire l’inégalité : 2 2⋆ x n −a 6 ( x n−1 −atout) pourn∈N a

Montpellier

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septembre 1979

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

3.Démontrer une inégalité de la forme : ³ ´ x n −a x 0 −a ⋆ 6 A n u n ,n∈N a a où lesA n et lesu n sont des entiers que l’on déterminera en fonction den. x 0 −a1 On suppose 6 . Quel est le plus petit entiernpour lequel a10 x n −a −8 6 10 ? a

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