Baccalauréat C Paris–Créteil–Versailles juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Paris–Créteil–Versailles juin 1990 \ EXERCICE 1 5 POINTS Dans le plan orienté on suppose donnés deux points distincts O et I. On note r le quart de tour direct de centre O et s la symétrie centrale de centre I. I. 1. Soit OJO?G le carré direct de centre I c'est-à-dire que (??OI , ???OG )= pi2 ) . PIacer ces différents points sur une figure (on prendra OI = 4 cm). 2. Prouver que s ? r est la rotation de centre J d'angle ?pi2 . 3. En déduire que J est le seul point du plan tel que r (J) = s(J). Désormais, pour tout couple (M, N) de points du plan, on note, A et B les images de M par r et s ; C et D les images de N par r et s. II. Soit M un point donné distinct de J. On suppose que J est le milieu du segment [MN]. Démontrer que ABCD est un carré de centre G. Placer M et N et le carré ABCD sur la figure. III. Le point M étant toujours donné distinct de J, on suppose inversement que N est tel que ABCD soit un carré. Prouver que J est le milieu de [MN] et que G est le centre du carré ABCD (on introduira le milieu J? de [MN] et le centre G? du carré ; on comparera alors r (J?) et s(J?).

• plan orienté


• comparaison de ?n


• centre g? du carré


• lnx


• s4 ?


• milieu de segment


• ?? lnx dans le plan rapporté


• solutions ?


• courbe représentative de ?

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1990
• Nombre de lectures: 39
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Paris–Créteil–Versailles juin 1990\

E X E R C IC E 1 5 P O IN TS Dans le plan orienté on suppose donnés deux points distincts O et I. On noterle quart de tour direct de centre O etsla symétrie centrale de centre I. I. ³ ´ −→−−→ π ′ 1.OG )Soit OJO G le carré direct de centre I c’estàdire queOI ,=. PIacer 2 ces différents points sur une figure (on prendra OI = 4 cm). π 2.Prouver ques◦rest la rotation de centre J d’angle−. 2 3.En déduire que J est le seul point du plan tel quer( J)=s( J). Désormais, pour tout couple (M, N) de points du plan, on note, A et B les images de M parrets; C et D les images de N parrets.

II.eu du segmentSoit M un point donné distinct de J. On suppose que J est le mili [MN]. Démontrer que ABCD est un carré de centre G. Placer M et N et le carré ABCD sur la figure.

III.Le point M étant toujours donné distinct de J, on suppose inversement que N est tel que ABCD soit un carré. Prouver que J est le milieu de [MN] et que G est le ′ ′ centre du carré ABCD (on introduira le milieu Jde [MN] et le centre Gdu carré ; on ′ ′ comparera alorsr(J ) ets(J ). ′ ′ Soitrle quart de tour direct de centre G. Prouver quer◦r=s. En déduire que sous ′ les hypothèses de la question II, le carré ABCD est direct (c’estàdire quer(A) = B).

E X E R C IC E 2

′ A

A

′ B

B

′ D

D

′ C

C

′ ′′ ′ ABCDA BC Dest un cube (voir figure). On note, ′ ′ s 1 la réflexion de plan (AA BB ) ; ′ s 2 la réflexion de plan (BB CC) ; ′ s 3 la réflexion de plan (CCDD ) ; ′ ′ s 4 la réflexion de plan (DD AA ). I. ′ 1.Montrer quer=s 2 ◦s 1 est un demitour dont on précisera l’axe. ′′ 2.Déterminer de même la nature der=s 4 ◦s 3 .

4 P O IN TS

Le baccalauréat de 1990

II. ′ ′ 1.On notesla réflexion de plan (BBDD ). ′ ′′′ ′ Déterminer les réflexionssetstelles que,r=s◦setr"=s 4 ◦s 3 . −→ ′′ ′ 2.En déduire quet=r◦rest la translation de vecteur 2BD .

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 11 P O IN TS Partie A. Le but de cette partie est d’étudier la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par xlnx f(x)=six>0 etf(0)=0. x+1 I.Étudier la continuité et la dérivabilité defen 0.

II. 1.Soitϕla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par

ϕ(x)=lnx+x+1.

Étudier les variations deϕ. Établir que l’équationϕ(x)=0 admet une solution β27et une seule, et que 0, 6 β 6 0, 28.(On ne demande pas de construire la courbe représentative deϕ.) ′ 2.Pourx>0, exprimerf(x) à l’aide deϕ(x). En déduire les variations def.

III.Déterminer la limite defen+∞, puis la limite de lnx−f(x) lorsquextend vers +∞.

IV.Construire les courbes représentativesCdefetΓdex−7→lnxdans le plan ³ ´ −→−→ rapporté à un repère orthonormalO,ı,[unité graphique 4 cm].

Partie B. On se propose d’étudier l’équationf(x)=1 À cet effet on introduit la fonctiongdéfinie sur ]0 ;+∞[ par : 1 x g(x)=e∙e .

I.Montrer que l’équationf(x)=1 admet une solutionαet une seule, et que 3, 5 6 α 6 3, 7. Placer le point deCd’abscisseα.

II. 1.Prouver que l’équationf(x)=1 équivaut à l’équationg(x)=x. 2.Étudier la monotonie deg. 3.Prouver que pour tout élémentxde [3,5 ; 3,7],g(x3,7].) appartient aussi à [3,5 ; 4.Établir que pour tout élémentxde [3,5 ; 3,7] 1 ′ ′ ¯ ¯¯ ¯ g(x) 6 g(3, 5) 6 3 En déduire que 1 |g(x)−α| 6 |x−α|. 3

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Le baccalauréat de 1990

A. P. M. E. P.

III.Soit (u n currence) la suite d’éléments de [3,5; 3,7] définie par la relation de ré u n+1 =g ( u n ) et la condition initialeu 0 =3, 5. 1.Montrer que pour tout entiern > 0

1 1 | u n −α | 6 ∙ n 5 3

En déduire la limite de (u n ). −3 2.Donner une valeur décimale approchée deαprès.à 10

Partie C On se propose d’étudier l’équationf(x)=n, oùnest un entier naturel non nul.

I.Montrer que, pour toutn, cette équation admet une solutionα n et une seule (en particulier,α 1 =α).

n II.Comparaison deα n .à e

n n 1.Établir quef(e ) 6 n. En déduire queα n > e . 2.Prouver que la relationf ( α n ) =npeut s’écrire sous la forme : ³ ´ α n n ln=(1) n eα n α n 3.En déduire, à l’aide de 1., la limite delorsquentend vers l’infini. n e

n III.Comparaison deα n à e+n. On écritα n sous la forme n α n =e (1+ǫ n ) oùǫ n > 0 (2) 1.À l’aide de (1), exprimer (1+ǫ n ) ln (1+ǫ n ) en fonction den. 2.Établir que pour toutt > 0 2 t 0 6 (1+t) ln(1+t)−t 6 . 2 3.Déduire de (1) et (2) que pour toutn > 1 2 ǫ − n n ǫ n 6 ne 6 ǫ n +, 2 puis que

2 n −n−2n 0 6 ne−ǫ n 6 e (3) 2 n 4.À l’aide de (2) et (3), déterminer la limite de e+n−α n lorsquentend vers +∞.

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