Baccalauréat C Reims juin 1976

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Reims juin 1976 \ EXERCICE 1 On pose I (a, n)= ∫1 0 xa (1? x)n dx, a ?N?, n ?N? et I (a, 0)= ∫1 0 xa dx. 1. En intégrant par parties, montrer que I (a +1, n)= a +1 n+1 I (a, n+1) 2. Établir que I (a, n)? I (a, n+1)= I (a +1, n). En déduire que I (a, n+1)= n+1 n+a +2 I (a, n) 3. a étant fixé, (a ?N?), calculer I (a, 0) et démontrer par récurrence sur n, pour tout n ?N? I (a, n)= 1.2.3 . . . (n?1) .n(a +1)(a +2).....(a +n+1) EXERCICE 2 En base 9, trouver tous les couples de chiffres (x ; y) pour lesquels le nombre 7x6y4 est divisible par 7 et par 8. (On pourra utiliser le système décimal comme intermédiaire). PROBLÈME Soit P un plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) .

• droite ∆2


• ??? ?m


• système décimal


• restriction de s2 ?s1


• affixe de?


• f1 ?


• xa


• relation dans z

Sujets

• Système décimal

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1976
• Nombre de lectures: 37

Extrait

E X E R C IC E 1 On pose

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Reims juin 1976\

Z 1 a n⋆ ⋆ I(a,n)=x(1−x) dx,a∈N,n∈N 0 Z 1 a etI(a, 0)=xdx. 0

1.En intégrant par parties, montrer que

a+1 I(a+1,n)=I(a,n+1) n+1 2.Établir queI(a,n)−I(a,n+1)=I(a+1,n). En déduire que

n+1 I(a,n+1)=I(a,n) n+a+2 ⋆ 3.aétant fixé, (a∈N), calculerI(adémontrer par récurrence sur, 0) etn, pour ⋆ toutn∈N

1 . 2 . 3. . .(n−1) .n I(a,n)= (a+1)(a+2).....(a+n+1)

E X E R C IC E 2 En base 9, trouver tous les couples de chiffres (x;y) pour lesquels le nombre 7x6y4 est divisible par 7 et par 8. (On pourra utiliser le système décimal comme intermédiaire).

P R O B L È M E ³ ´ −→−→ Soit P un plan affine euclidien muni d’un repère orthonorméO,u,v.

Partie A On donne un pointΩde P et un nombre réelkstrictement positif. Soitfl’applica tion de P−{Ω} dans P−{Ω} définie par : −−→ k −−→ m→−7M=f(mque) telΩM= ∙Ωm. 2 −−→ ° Ωm ° −−→ k 1.Établir que ° ΩM ° =et quefest une application involutive de P−{Ω} −−→ ° Ωm ° dans P−{Ω}. 2. a.Quelle est l’image parfdu cercleΓde centreΩet de rayonk? b.Quel est l’ensemble des points invariants parf?festelle une applica tion affine ?

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

3.P est considéré comme plan complexe. Tout pointm(x;y) de P a pour affixe z=x+iy; on noteαl’affixe deΩetZl’affixe deM, image demparf. k Etablir la relation (1)Z=α+. z−α z−αdésigne le conjugué dez−α) Partie B k ′ On appellefl’application associée à la relationZ−1=etf 1 celle associée à z−1 bb la relationZ−1−b=oùbetbsont deux nombres complexes conjugués z−1−b (b6=0). 1. a.Sur quel ensembleE 1 la composée ¡ ¢ ′ ′ ϕ 1 =f◦f 1 ◦f estelle définie ? ′ b.Établir la relation entre les affixes demet de son image parf 1 ◦f, en déduire que la relation entre les affixes demet de son imageM 1 parϕ 1 est

b+b+k b (2)Z 1 = −z. b b sinθ 2 2.On pose désormaisk=sinθetb=(−sinθ+i cosθ). 2 a.En utilisant la relation (2), montrer queϕ 1 est alors la restriction àE 1 d’une symétrie orthogonaleS 1 par rapport à une droiteΔ 1 passant par ³ ´ −→ O. On appelleDla droiteO,u, déterminer l’angle (D,Δ 1 ). b.On appellef 2 l’application associée à la relation

bb Z−1−b= z−1−b ¡ ¢ ′ ′ etϕ 2 la composéeϕ 2 =f◦f 2 ◦f. Montrer sans nouveaux calculs queϕ 2 est aussi la restriction à un en sembleE 2 d’une symétrie orthogonaleS 2 par rapport à une droiteΔ 2 que l’on précisera. ′ ′ c.Prouver l’identité def◦f 2 ◦f 1 ◦fet deRoùRdésigne la restriction de ′ S 2 ◦S 1 de P que l’on précisera.à une partie P Préciser la nature de cette applicationR. Quelles valeurs doiton donner àθpour queRsoit associée à la relation µ ¶ 3 4 Z=z +i ? 5 5 ′ 3.Soit les applications définies dans E= P−{O} par

Reims

1 1−k ′ ′ f:x7→−,f:x→−7. 1 2 z z ′ ′′ a.Montrer que la composéeh=f◦fest la restriction à Ed’une homo 2 1 thétie que l’on précisera.

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b.Quel est l’ensemble de définition deh◦R? Montrer que l’applicationh◦Rest associée à la relation µ ¶ 3 4 (3)Z=(1−k)+iz 5 5 pour un choix convenable deR.

A. P. M. E. P.

4.On appelleul’application de P dans P associée à la relation (3). Déterminer la nature deuet ses éléments remarquables; discuter selon les valeurs deθ.

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