Baccalauréat CMétropole groupe 2 1 juin 1994

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat CMétropole groupe 2 1 juin 1994\ EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité Sur la figure ci-jointe, qui sera remise avec la copie avoir été éventuellement com- plétée, O, A et B sont trois points du plan orienté tels que : (???OA , ???OB ) = pi 4 modulo 2pi. Le cercle C de centre O, est le cercle circonscrit au triangle OAB. On désigne par I le point diamétralement opposé à B sur C. 1. On appelle s la similitude directe de centre I qui transforme A en B. Déterminer l'angle de la similitude s. Quelle est la nature du triangle IAB ? En déduire le rapport de la similitude s. 2. Onappelle G le point défini par la relation???GA =?12 ???GB . La droite (IG) recoupe C en K. On appelle s? la similitude directe de centre K qui transforme A en B. a. Déterminer l'angle de la similitude s'. b. On se propose de déterminer le rapport de la similitude s?. Montrer l'égalité ???KA ·???KB =? p2 2 KA ·KB. On désigne par H le projeté orthogonal de A sur la droite (BK). Exprimer ???KH en fonction de ???KB . En déduire ???KA ·???KB =?12KB 2. Déterminer le rapport de la similitude s?.

• nature du triangle iab


• plan orienté


• coordonnées des extrémités de p1


• ex ?


• xe?x dx en fonc

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
1[BaccalauréatCMétropolegroupe2 juin1994\
EXERCICE 1 4points
Enseignementdespécialité
Sur la figure ci-jointe, qui sera remise avec la copie avoir été éventuellement com-
plétée,O,AetBsonttroispointsduplanorientételsque:
³ ´?! ?! π
OA, OB ? modulo2π.
4
LecercleC decentreO,estlecerclecirconscritautriangleOAB.OndésigneparIle
pointdiamétralementopposéàBsurC.
1. Onappelle s lasimilitudedirectedecentreIquitransformeAenB.
Déterminerl’angledelasimilitude s.
QuelleestlanaturedutriangleIAB?
Endéduirelerapportdelasimilitude s.
?! 1?!
2. OnappelleGlepointdéfiniparlarelationGA ?? GB.Ladroite(IG)recoupe
2
0C enK.Onappelle s lasimilitudedirectedecentreKquitransformeAenB.
a. Déterminerl’angledelasimilitudes’.
0b. Onseproposededéterminerlerapportdelasimilitude s .
p
?! ?! 2
Montrerl’égalitéKA?KB ?? KA?KB.
2
OndésigneparHleprojetéorthogonaldeAsurladroite(BK).
??! ??!
ExprimerKH enfonctiondeKB.
1?! ?! 2EndéduireKA?KB ?? KB .
2
0Déterminerlerapportdelasimilitude s .
BC
Ω
O A
I
EXERCICE 2 5points
Enseignementdespécialité
Dansleplanorienté,onconsidèrelecarréABFEdecentreJ,telque:
1. Bordeaux,Caen,Clermond-Ferrand,Limoges,Nantes,Orléans-Tours,Poitiers,Rennes
bBaccalauréatC A.P.M.E.P.
³ ´ π??! ?!
AB=AE=2et AB,AE ? modulo 2π.Soient D,CetGles milieux respectifs de
2
[AE],[BF]et[AB].
KE F
N
JI
D C
M
A BG
SoitIunpointquelconquede[DC].Ladroite(AI)coupeladroite(EF)enK.Laper-
pendiculaireenIàladroite(AI)coupeladroite(AE)enN.
OndésigneparMlesymétriquedeNparrapportaupointI.
Onseproposededétermineretdetracerl’ensembleP despointsMobtenuslorsque1
Idécritlesegment[DC].
1. a. PréciserlespositionsdeMlorsqueIestenDpuisenJ.
b. QuelleestlanatureduquadrilatèreAMKN?
c. En déduire que MA = MK et que K est le projeté orthogonal de Msur la
droite(EF).
d. MontrerqueP estinclusdansuneparaboleP dontonpréciseralefoyer1
etladirectrice.
2. Onmunitleplandurepèreorthonormé(A,AG,AD).
a. DonneruneéquationcartésiennedeP.’
Préciserl’ensembledesabscissesdeMquandIdécrit[DC]etdonnerles
coordonnéesdesextrémitésdeP .TracerP .1 1
PROBLÈME 10points
LapartieAapourobjetl’étudedelafonction f définiesurRpar
xe
f(x)? .
xe ?x
LespartiesBetCsontconsacréesauxétudesdesconvergencesdedeuxsuitesliées
à f.
PartieA
Étudedelafonction f
Onconsidèrelafonction g définiesurRpar
xg(x)?e ?x?1.
1. a. Étudierlesensdevariationsde g.Calculer g(0).
xe
b. Endéduirequel’expression estdéfiniepourtoutréel x.
xe ?x
xe
Onconsidèrealorslafonction f définiesurRpar f(x)? .
xe ?x
Métropolegroupe1 2 juin1994
+
+
+ +BaccalauréatC A.P.M.E.P.
2. a. Vérifierque,pourtoutréel x, f(x)?0.
b. Déterminer lim f(x).
x!?1
1
3. a. Montrerque,pourtoutréel x, f(x)? .
?x1?xe
b. Endéduire lim f(x).
x!?1
04. Déterminerladérivée f de f etétudierlesvariationsde f.
5. Représenter graphiquement la fonction f dansun repèreorthonormé (unité
graphique:2cm).
PartieB
Zn
Étudedelasuite (u ) définieparpourtoutentiernatureln,u ? f(x)dxn n
0
Onnechercherapasàcalculerexplicitement u .n
1. Donneruneinterprétationgéométriquedeu .n
2. Quelestlesensdevariationdelasuite(u )?n
3. a. Montrerque,pourtoutréel x,
x
f(x)?1? xe ?x
b. Montrerque,pourtoutentiernatureln,
Zn x
u ?n? dx.n xe ?x0
c. Endéduirelalimitedeu lorsquen tendvers?1.n
PartieC
Étudedelasuite(v ) définieparv ?u ?nn n n
Zn x
Onadonc,pourtoutentiernatureln, v ? dx.n xe ?x0
Onseproposed’étudierlaconvergencedelasuite(v ).n
1. Montrerquelasuite(v )estcroissante.n
xex2. a. Montrerque,pourtoutréel x positifounul,e ?x> .
2
Zn
?xb. Endéduireque,pourtoutentiernatureln, v 6 2xe dx.n
0
Zn
?xc. Eneffectuantuneintégrationparparties,exprimer 2xe dxenfonc-
0
tionden.
d. Endéduireque,pourtoutentiernatureln, v 62.n
3. Lasuite(v )est-elleconvergente?n
Métropolegroupe1 3 juin1994