Baccalauréat Mathématiques Enseignement de spécialité France métropolitaine septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat Mathématiques-Enseignement de spécialité France métropolitaine septembre 2009 EXERCICE 1 5 points Unemunicipalité décide de regrouper tous les ouvrages de trois petites bibliothèques de quartier en unmême lieu et de créer une bibliothèque municipale. On convient de noter b1, b2 et b3 ces trois bibliothèques de quartier. Le stock de b1 constituera ainsi 50 % de l'ensemble des ouvrages réunis dans la bibliothèque municipale, celui de b2 constituera 30 % de cet ensemble et celui de b3 constituera 20 % de cet ensemble. Un examen minutieux du stock révèle que : • 12 % des ouvrages provenant de b1 sont en mauvais état ; • 10 % des ouvrages provenant de b2 sont en mauvais état ; • 15 % des ouvrages provenant de b3 sont en mauvais état. On prélève au hasard un ouvrage dans le stock de la bibliothèque municipale et on note sa provenance et son état. On appelle les événements suivants : B1 l'évènement : « L'ouvrage prélevé provient de la bibliothèque b1 » ; B2 l'évènement : « L'ouvrage prélevé provient de la bibliothèque b2 » ; B3 l'évènement : « L'ouvrage prélevé provient de la bibliothèque b3 » ; E l'évènement : « L'ouvrage prélevé est en bon état » et E son contraire. 1. Donner la valeur de p(B1), probabilité de l'évènement B1, ainsi que celle de PB1(E ), probabilité de l'évènement E sachant que l'événement B1 est réalisé.

• polygone régulier


• représentation en perspective parallèle


• damier


• probabilité


• ouvrage


• examen minutieux du stock


• évènement


• bibliothèque municipale

Sujets

• Polygone régulier
• Damier
• Probabilité
• Ouvrage
• Événement
• Bibliothèque municipale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2009
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatMathématiques-Enseignementdespécialité
Francemétropolitaineseptembre2009
EXERCICE 1 5points
Unemunicipalitédécidederegroupertouslesouvragesdetroispetitesbibliothèquesdequartierenunmêmelieuetde
créerunebibliothèquemunicipale.Onconvientdenoterb ,b etb cestroisbibliothèquesdequartier.1 2 3
Le stock de b constituera ainsi 50% de l’ensemble des ouvrages réunis dans la bibliothèque municipale, celui de b1 2
constituera30%decetensembleetceluideb constituera20%decetensemble.3
Unexamenminutieuxdustockrévèleque:
• 12%desouvragesprovenantdeb sontenmauvaisétat;1
• 10%desouvragesprovenantdeb sontenmauvaisétat;2
• 15%desouvragesprovenantdeb sontenmauvaisétat.3
Onprélèveauhasardunouvragedanslestockdelabibliothèquemunicipaleetonnotesaprovenanceetsonétat.
Onappellelesévénementssuivants:
B l’évènement:«L’ouvrageprélevéprovientdelabibliothèqueb »;1 1
B l’évènement:«L’ouvrageprélevéprovientdelabibliothèqueb »;2 2
B l’évènement:«L’ouvrageprélevéprovientdelabibliothèqueb »;3 3
E l’évènement:«L’ouvrageprélevéestenbonétat»etE soncontraire.
1. Donnerlavaleurde p(B ),probabilitédel’évènementB ,ainsiquecelledeP (E),probabilitédel’évènementE1 1 B1
sachantquel’événementB estréalisé.1
2. Reproduire sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous et le compléter par les sept probabilités manquantes
(aucunejustificationn’estattendue).
E
B1
E
E
B2
0,1
E
E
B3
0,15
E
3. a) Montrerquep(B ∩E)=0,44.Calculerp(B ∩E)etp(B ∩E).1 2 3
b) Endéduirequelaprobabilitéqu’unouvrageprélevéauhasardsoitenbonétatestégaleà0,88.
4. LesévénementsB etE sont-ilsindépendants?1
5. Caractériserparunephrasel’évènementB ∪E puiscalculersaprobabilité.1EXERCICE 2 5points
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]0; 2]par:
f(x)=x+ln(x).
′Onnote f lafonctiondérivéede f sur]0; 2].
x+1
′1. a) Montrerque,pourtoutx de]0; 2], f (x)=
x
b) Justifierquelafonction f estcroissantesurl’intervalle]0; 2].
³ ´→− →−
2. Onnote(Γ)lacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthogonal O, ı ,  duplan.
Undessinde(Γ)estdonnéenannexe1.Cedessinestàcompléteretàrendreaveclacopie.
a) Onnote A lepointde(Γ)d’abscisse1.Calculerl’ordonnéedupoint A.
b) Calculerlenombredérivéde f en1.
c) Détermineruneéquationdeladroite(T)tangenteàlacourbe(Γ)en A.Tracerladroite(T).
d) OnnoteB lespointd’intersection,deladroite(T)avecl’axedesabscisses.
PlacerlepointB surlafigureetcalculersescoordonnées.
3. Onadmetquel’équation f(x)=0admetuneuniquesolutionαdansl’intervalle]0; 2].
a) Enutilisantlegraphique,donnerunencadrementdeαd’amplitude0,1.
b) Àl’aided’unecalculatrice,trouverunencadrementdeαd’amplitude0,01.
EXERCICE 3 5points
Dans cet exercice, on appelle DIAGONALE d’un polygone régulier tout segment de droite joignant deux sommets non
consécutifsdupolygone.Ainsi,untriangleéquilatéralnepossèdeaucunediagonaleetuncarréenpossèdedeux.
1. Dansletableaudel’annexe2,quiestàcompléteretàrendreaveclacopie, tracerencouleur toutesdiagonales
despolygonesréguliersà5et6côtés,puisindiquerleurnombredanslalignesuivante.
Danslasuitedel’exercice,onadmetquelenombred dediagonalesd’unpolygonerégulieràn côtés(n étantun
entiernaturelsupérieurouégalà3)estdonnéparlaformule:
n(n−3)
d= .
2
2. Danscettequestion,onchercheàdéterminerdansquelspolygonesrégulierslenombred dediagonalesestun
multipleentierdunombrendecôtés.
a) Exploiter ce qui a été fait dans les questions précédentes pour dire si chacune des propositions suivantes est
VRAIEouFAUSSE.Chaqueréponsedoitêtrejustifiée.
oPropositionn 1:Ilexisteaumoinsunpolygonerégulierpourlequellenombredediagonalesestledoubledu
nombredecôtés.
oPropositionn 2:Quelquesoitunpolygonerégulier,lenombredesdiagonalesdecepolygoneestledoubledu
nombredesescôtés.
oPropositionn 3:Quelquesoitunpolygonerégulier,lenombredesdiagonalesdecepolygoneestunmultiple
entierdunombredesescôtés.
b) Onconsidèrel’algorithmesuivant:
Entrée k estunentiernaturelnonnul.
Initialisation Affecteràn lavaleur3;
Affecteràd lavaleur0.
Traitement Tantqued<k×n :
Affecteràn lavaleurn+1;
n×(n−3)
Calculer etaffecterlavaleurdurésultatàd.
2
Sortie Affichern etd.
Fairefonctionner l’algorithme pour k=3. Interpréterle résultat obtenu en termesde nombres de côtés et de
diagonalesd’unpolygonerégulier.
2c) Démontrerque,pourunentiernaturelnonnulk donné,d=k×n sietseulementsin=2k+3.
d) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera
priseencomptedansl’évaluation.
Déterminerlespolygonesréguliersdanslesquelslenombred dediagonalesestunmultipleentierdunombre
decôtés.
EXERCICE 4 5points
Undamierestcomposéde9casescarréesdemêmedimension.Cescasessontnumérotéesde1à9commel’indiquent
lesdeuxdessinsci-dessous.Leplandudamierestunplanhorizontal.
Onadéposésurlescases1et9decedamierdeuxcubes.Chaquefacedecesdeuxcubesaexactementlamêmedimen-
sionquechaquecasedudamier.
7 8 9
A
7 8 9
4 5 6
4 5 6
1 2 3
1 2 3
B C D E
DamieretcubesB C D E
représentationenperspectiveparallèle
Damieretcubes
Vuededessus
Lespoints A,B,C,D etE sonttelsque:
A,B etC sonttroissommetsducubedéposésurlacase1;
lesegment[BE]estunborddudamier;
C etD sontlespointsdusegment[BE]telsqueBC=CD=DE.
L’objectifestdereprésenterenperspectivecentraleledamieretlesdeuxcubes.Onseplacedanslecasoùlebord[DE]
dudamieretl’arête[AB]ducubesontdansunplanfrontal.
Dansledessindonnéenannexe3onacommencécettereprésentationenperspectivecentrale.
Lespointsa,b,c,d ete représententdanscetteperspectivecentralelespoints A,B,C,D etE.
Onareprésentéentraitgraslebord[be]dudamier,etl’arêteverticale[ab]ducubeposésurlacase1.
Cedessinestàcompléteretàrendreaveclacopie.
Pourtouteslesconstructionsdel’exercice,onlaisseraapparentslestraitsdeconstruction.
1. Terminerlareprésentationenperspectivecentraledudamier.
2. Citerdeuxrèglesdelaperspectiveàpointdefuitequipeuventêtrevérifiéessurlafigure.
3. Représenterdanscetteperspectivecentralelecubedéposésurlacase1.
4. Représenterdanscetteperspectivecentralelecubedéposésurlacase9.
3
bbbbbbbbbANNEXE1(àcompléteretàrendreaveclacopie)
Exercice2
y
3
(Γ)
2
A
+1
~
+
O x1 2~ı
−1
−2
−3
ANNEXE2(àcompléteretàrendreaveclacopie)
Exercice3
Nombren
3 4 5 6 7 8
decôtés
Tracédes
diagonales
du
Triangle Pentagone Hexagone Heptagone Octogonepolygone Carré
équilatéral régulier régulier régulier régulier
Nombred
de 0 2 ??? ??? 14 20
diagonales
45
ANNEXE2(àcompléteretàrendreaveclacopie)
Exercice4
Pointdefuite
Ligned’horizon principal
a
1 2
c e
b d