Baccalauréat S

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S 2002\ L'intégrale de septembre 2001 à juin 2002 Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus Antilles-Guyane septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 France septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Polynésie spécialité septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Nouvelle-Calédonie décembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Amérique du Sud décembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Pondichéry avril 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Amérique du Nord juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Antilles-Guyane juin 2002 . . . . .

• accès direct


• courbe


• nature du triangle oab


• ?3? lnx


• barycentre des points


• lnx ?


• points enseignement obligatoire


• repère orthonormé

Sujets

• Accès direct
• Courbe
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 59
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatS2002\
L’intégraledeseptembre2001à
juin2002
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2001 ........................3
Franceseptembre2001 ..................................6
Polynésiespécialitéseptembre2001 .....................9
Nouvelle-Calédoniedécembre2001 ....................12
AmériqueduSuddécembre2001 ......................15
Pondichéryavril2002 ...................................18
AmériqueduNordjuin2002 ........................... 21
Antilles-Guyanejuin2002 ..............................25
Asiejuin2002 ...........................................28
Centresétrangersjuin2002 .............................32
Francejuin2002 ........................................35
LaRéunionjuin2002 ...................................39
Polynésiejuin2002......................................43BaccalauréatS année2002
2[BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre2001\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Soitm unnombreréelet f lafonctiondéfiniesurRpar:
?
f(x) = msinx pourx∈[0; π]
f(x) = 0 sinon.
1. Déterminerleréelm telque f soitunedensitédeprobabilité.
2. Représenter f dansunrepèreorthonormé.
3. Soit X unevariablealéatoiredont f estunedensitédeprobabilité.
DéfinirlafonctionderépartitiondeX puisreprésentergraphiquementF dans
unrepèreorthonormé.
? ?
π 3π
4. Calculerlaprobabilitép 6X6 .
4 4
5. Calculerlesprobabilitésp(X>0)etp(X60).
EXERCICE 2 5points
Enseignementobligatoire ? ?→− →−
Leplanestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .
1. Résoudre dans l’ensembleC des nombres complexes l’équation d’inconnue
z : p
2z +8z 3+64=0.
2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombresp p
complexes a=−4 3−4ietb=−4 3+4i.
CalculerlesdistancesOA,OBetAB.
EndéduirelanaturedutriangleOAB.
p
3. OndésigneparClepointd’affixec= 3+ietparDsonimageparlarotation
π
decentreOetd’angle .Déterminerl’affixed dupointD.
3
4. OnappelleGlebarycentredespointspondérés(O; −1),(D;1)et(B;1).
p
a. MontrerquelepointGapouraffixeg=−4 3+6i.
b. PlacerlespointsA,B,C,DetGsurunefigure.(Unitégraphique:1cm).
c. DémontrerquelequadrilatèreOBGDestunparallélogramme.
p
c−g 1 3
5. a. Justifierl’égalité = +i .
a−g 2 2
? ?−→ −→
b. Endéduireunemesureenradiansdel’angle GA, GC ,ainsiquelava-
GC
leurdurapport .
GA
Quepeut-onendéduireconcernantlanaturedutriangleAGC?
EXERCICE 2 5points
Enseignementdespécialité
1. Soienta etb desentiersnaturelsnonnulstelsquePGCD(a+b; ab)=p,oùp
estunnombrepremier.A.P.M.E.P.Aquitaine année2002
2 2a. Démontrerquep divisea .(Onremarqueraquea =a(a+b)−ab.)
b. Endéduirequep divisea.
Onconstatedonc,demême,quep diviseb.
c. DémontrerquePGCD(a, b)=p.
2. Ondésignepara etb desentiersnaturelstelsquea6b.
a. Résoudrelesystème
?
PGCD(a, b) = 5
PPCM(a, b) = 170
b. Endéduirelessolutionsdusystème:
?
PGCD(a+b, ab) = 5
PPCM(a, b) = 170
PROBLÈME 11points? ?→− →−
Le plan est rapporté à un repèreorthonormal O, ı ,  . On considère la fonction
f,définiesurl’intervalle[0;+∞[par:
2f(x)=−3−lnx+2(lnx) .
Onnote(C)sacourbereprésentative.
PartieA-Étudedelafonction f ettracédelacourbe(C)
1. a. Résoudredans]0;+∞[l’équation f(x)=0.(Onpourraposerlnx=X).
b. Résoudredans]0;+∞[l’inéquation f(x)>0.
2. a. Déterminerleslimitesde f en0eten+∞.
′b. Calculer f (x).
c. Étudierlesensdevariationde f etdressersontableaudevariations.
3. Déterminer une équation dela tangente (T ) à la courbe(C) aupoint d’abs-
5
4cissee .
4. On se propose d’étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite
(T ).
Pourcela,onconsidèrelafonctionϕ,définiesur]0 ;+∞[par:
? ?
5 41−
4ϕ(x)= f(x)− 4e x− .
8
4lnx−1 5′ − ′′
4a. Montrerqueϕ (x)= −4e puiscalculerϕ (x).
x
′b. Étudierlesensdevariationdeϕ sur]0 ;+∞[.
′Endéduireque,pourtoutx appartenantà]0 ; +∞[,onaϕ (x)60.
? ?
5
4c. Calculerϕ e .Pourtout x appartenantà]0 ; +∞[déterminerlesigne
deϕ(x).
Endéduirelapositiondelacourbe(C)parrapportàladroite(T ).
5. Tracerlacourbe(C)etladroite(T ).(Unitégraphique:2cm).
PartieB-Calculd’uneaire
1. Vérifier que la fonction h, définie par x 7! xlnx−x, est une primitive de la
fonctionlogarithmenépériensur]0 ; +∞[.
Antilles-Guyane 4 septembre2001A.P.M.E.P.Aquitaine année2002
3 3Z Z2 2e e
22. OnposeI = lnxdx etI = (lnx) dx.1 2
1 1
e e
a. CalculerI .1
5 3 5
2b. Enutilisantuneintégrationparparties,montrerqueI = e − .2
4 e
3Z 2e
c. Calculer f(x)dx. En déduire l’aire, en unités d’aire, de l’ensemble
1
e
1 3
2despoints M(x ; y)duplantelsque 6x6e et f(x)6y60.
e
Antilles-Guyane 5 septembre2001[BaccalauréatSFranceseptembre2001\
Exercice1 6points
Communàtouslescandidats
On dispose de deux urnes a et b contenant des boules blanches ou rouges indis-
cernables au toucher. L’épreuve consiste à choisir une urne parmi les urnes a et b
proposées (le choix de l’urne est effectué au hasard, les deux choix étant équipro-
bables)puisàeffectuerletiraged’unebouledansl’urnechoisie.
OnnoteAl’évènement «l’urnea estchoisie»,Bl’évènement «l’urneb estchoisie»
etRl’évènement «uneboulerougeestobtenueautirage».
Onnotep (R)laprobabilitéconditionnelledel’évènementRparrapportàl’évène-A
mentA.
1. Danscettequestion,l’urnea contientuneboulerougeetquatreboulesblanches,
l’urneb contientquatreboulesrougesetdeuxboulesblanches.
a. Déterminerlesprobabilitéssuivantes:p(A), p (R), p(A∩R).A
b. Montrerque
13
p(R)=
30
c. Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que
l’urnechoisiesoitl’urnea?
2. Danscettequestion,onsupposequel’urneacontientquatreboulesblanches
et l’urne b deux boules blanches. L’urne a contient en outre n boules rouges
(oùndésigneunentiernaturelinférieurouégalà5),l’urnebencontient5−n.
a. Exprimerp (R)etp (R)enfonctionden.A B
b. Démontrerque
2−n +4n+10
p(R)= .
(4+n)(7−n)
c. Onsaitquenneprendquesixvaleursentières.Déterminerlarépartition
possible des cinq boules rouges entre les urnes a et b donnant la plus
grandevaleurpossibledep(R).
Exercice2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité? ?→− →−
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormal O, u , v direct.
SoitAlepointd’affixeietBlepointd’affixe−i.
Soit f lafonctiondéfiniesurC−{i}par:
1−iz
f(z)= .
z−i
1. Vérifierquepourtoutz deC−{i}
2
f z =−i+ .( )
z−i
2. a. Démontrerque-in’apasd’antécédentpar f.
b. Déterminerlesantécédentsde0etdeipar f.
′ ′3. À tout point M différent de A, d’affixe z, on associe le point M d’affixe z tel
′quez = f(z).A.P.M.E.P.Aquitaine année2002
a. Démontrer que pour tout point M différent de A, le produit des lon-
′ ′gueursAM etBM estégalà2 (AM?BM =2).
′b. DémontrerquelorsqueM décritlecercleC decentreAetderayon4,M
′sedéplacesuruncercleC dontonpréciseralecentreetlerayon.
4. a. Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que z−i soit un nombre
réelnonnul.
′b. Démontrer que lorsque M décrit E, M se déplace sur une droiteΔ que
l’onprécisera.
′c. LorsqueM décritE,M décrit-iltouteladroiteΔ?
5. Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un imaginaire pur
nonnul.
Exercice2 5points
Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
1. a. DéterminerlePGCDdesnombres168et20.
b. Soitl’équation 168x+20y =6dontlesinconnues x et y sontdesentiers
relatifs.Cetteéquationat-elledessolutions?
c. Soitl’équation 168x+20y =4dontlesinconnues x et y sontdesentiers
relatifs.Cetteéquationat-elledessolutions?
2. a. Déterminer, en utilisant l’algorithme d’Euclide, et en détaillant les cal-
culseffectués,deuxentiersrelatifsm etp telsque42m+5p=1.
b. Endéduiredeuxentiersrelatifsu etv telsque42u+5v=2.
c. Démontrer que lecouple d’entiers relatifs (x ; y) est solution del’équa-
tion42x+5y=2si,etseulementsi42(x+4)=5(34−y).
d. Déterminer tous les couples d’entiers (x ; y) d’entiers relatifs solutions
del’équation42x+5y=2.
3. Déduiredu2.lescouples(x ; y)d’entiersrelatifssolutionsdel’équation
(42x+5y−3)(42x+5y+3)=−5.
Problème 9points
LespartiesA,BetCpeuventêtretraitéesindépendammentlesunesdesautres.? ?→− →−
Le plan est muni d’un repère orthonormalR= O, ı ,  . L’unité graphique est 1
cm.
PartieA
Soit f lafonctiondéfiniesurRpar
? ?
2 xf (x)= x −3x+1 e .
SoitC lacourbereprésentativede f danslerep&#