Baccalauréat S Amérique du Nord juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Amérique du Nord \ juin 1996 EXERCICE 1 4 points On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On imagine n sacs de jetons S1, S2, . . . , Sn . Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, ef- fectués de la façon suivante : – Première étape : on tire au hasard un jeton de S1, – Deuxième étape : on place ce jeton dans S2 et on tire, au hasard, un jeton de S2, – Troisième étape : après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2 on tire, au ha- sard, un jeton de S3 et . . . ainsi de suite, . . . S1 S2 S3 Pour tout entier naturel k tel que 16 k 6 n, on note Ek l'évènement : « le jeton sorti de Sk est blanc », et Ek l'évènement contraire. 1. a. Déterminer la probabilité de E1 notée p (E1) et les probabilités condi- tionnelles : p (E2/E1) et p ( E2/E1 ) . En déduire la probabilité de E2 notée p (E2).

• base par la longueur de la hauteur correspondante


• tiers du produit de l'aire


• jeton


• sens trigonométrique


• probabilité de ek


• aire du triangle oab


• repère orthonormé

Sujets

• Sens de rotation
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1996
• Nombre de lectures: 237
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSAmériqueduNord\
juin1996
EXERCICE1 4points
Ondésigneparn unentiernaturelsupérieurouégalà2.
Onimaginen sacsdejetonsS , S ,..., S .1 2 n
Audépart,lesacS contient2jetonsnoirset1jetonblanc,etchacundesautressacs1
contient1jetonnoiret1jetonblanc.
Onseproposed’étudierl’évolution destiragessuccessifs d’unjetondecessacs,ef-
fectuésdelafaçonsuivante:
– Premièreétape:ontireauhasardunjetondeS ,1
– Deuxième étape : on place ce jeton dans S et on tire, au hasard, un jeton de2
S ,2
– Troisième étape : après avoir placé dans S le jeton sorti de S on tire, au ha-3 2
sard,unjetondeS et...ainsidesuite,...3
S S S1 2 3
Pourtoutentiernaturelk telque16k6n,onnoteE l’évènement :«lejetonsortik
deS estblanc»,etE l’évènement contraire.k k
1. a. Déterminer la probabilité de E notée p(E ) et les probabilités condi-1 1³ ´
tionnelles:p(E /E )etp E /E .2 1 2 1
EndéduirelaprobabilitédeE notéep(E ).2 2
b. Pourtoutentiernaturelk telque16k6n,laprobabilitédeE estnotéek
p .k
Justifierlarelationderécurrencesuivante:
1 1
p ? p ? .k?1 k
3 3
2. Étuded’unesuite(u ):k
1
Onnote u lasuitedéfinieparu ? et,pourtoutentierk>1,( )k 1
3
1 1
u ? u ? .k?1 k
3 3
?a. On considère la suite v définie par, pour tout élément k de N par( )k
1
v ?u ? .k k
2
Démontrerque v estunesuitegéométrique,( )k
b. Endéduirel’expressiondeu enfonctiondek.Montrerquelasuite(u )k k
estconvergenteetprécisersalimite,
3. Danscettequestion,onsupposequen?10.
Déterminerpourquellesvaleursdek ona:
0,49996p 60,5.kBaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE2 5points
Enseignementobligatoire
³ ´?! ?!?!
L’espaceétantrapportéàunrepèreorthonormaldesensdirect O, OI,OJ,OK ,on
considèrelecubedesommetsO,I,R,J,N,K,L,Mdontunereprésentationestdon-
néeci-dessous
DBc
OnnoteAlemilieude[IL]etBlepointdéfinipar:
?! 2?!
KB ? KN.
3
OnappellePleplanpassantlespointsO,AetB.
1. a. PréciserlescoordonnéesdespointsAetB.
!? !? ?! ?!
b. Déterminerlescoordonnéesduvecteur u telque u ?OA^OB.
p
14
2. a. Endéduirequel’airedutriangleOABvaut .
6
¡ ¢
1b. LepointC 1; ; 1 appartient-ilàP?Justifiervotreréponse.3
3. OnconsidèreletétraèdreOABK.
1
a. Montrerquelevolumevaut .
9
b. EndéduireladistancedupointKauplanP.
N.B.:onrappellequelevolumed’untétraèdreestletiersduproduitdel’aire
d’unebaseparlalongueurdelahauteurcorrespondante.
EXERCICE2 5points
Enseignementdespécialité
Dansleplanorienté, onconsidèrequatrepoints distincts A,B,CetDsesuccédant
danslesenstrigonométriquesurunmêmecercle.
A
D
B
C ³ ´??!??!
D’unemanièregénérale,siM,N,P,QsontquatrepointstelsM6?NetP6?Q, MN,PQ
³ ´?á?!?!
désigneunemesureenradiansdel’angledesvecteurs MN,PQ .
1. SoitSlasimilitudeplanedirectedecentreAquitransformeCenD.Ondésigne
parEl’imagedupointB.
³ ´ ³ ´?!?! ?! ?!
a. Montrerque CB,DE ? AC,AD mod2π.
b. MontrerqueEestsurladroite(BD).MarquerlepointEsurlafigure.On
admettraqueEestsurlesegment[BD].
c. MontrerqueAD?BC=DE?AC.
³ ´ ³ ´?!?! ?!?! AD AC
2. a. Montrerque AB,AC ? AE,AD mod2πpuisque ? .
AE AB
0b. Soit S la similitude directe de centre A qui transforme B en C. Montrer
queDestl’imagedeEparcettesimilitude.
AmériqueduNord 2 juin1996
bbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
c. ProuverqueAB?CD=AC?BE.
3. Utiliser cequiprécèdepourdémontrerlarelation:
AC?BD?AB?CD?AD?BC.
Remarque : cette relation est connue sous le nom de théorème de Ptolémée.
ePtolémée était unmathématicien et astronome grecduII siècle après J.–C. :
ilutilisaitcetterelationpourcalculerleslongueursdescordesd’arcdecercle,
ancêtresdenosrapportstrigonométriques.
PROBLÈME 11points
PartieA
t1. SoitϕlafonctiondéfiniesurRparϕ(t)?e etΓsacourbereprésentativedans
unrepèreorthonormé(unité:2cm).
a. TracerΓainsiquelatangenteaupointd’abscisse0aprèsenavoirdonné
une équation sous la forme y ?ϕ (t). Par une observation graphique,1
tcomparere ett?1.
b. Étudierlesensdevariationdelafonction:
h :t7?!ϕ(t)?ϕ (t).1
tEndéduirequepourtoutélément t deRona:e >t?1.
Préciserdansquel(s)casonal’égalité.
?12. Déduiredecequiprécèdeque,pourtoutélémentt de]?1;?1[,ona:e 6
1
.
t?1
Préciserdansquel(s)casonal’égalité.
PartieB
Soit flafonctiondéfiniesur]?1;?1[par:
?xf(x)?ln(x?1)?e .
1. Déterminerleslimitesde f en?1eten?1.
2. Étudierlesvariationsde f.Dresserletableaudecesvariations.
3. SoitC lacourbereprésentativede f dansunrepèreorthonormé(unité:4cm).
a. QuelleestlatangenteàC aupointd’abscisse0?
b. ConstruireC etcettetangente.
4. a. Montrerquel’équation f(x)?0admetuneseulesolutionnotéeαetque
?1?α?0.
b. Compléterletableausuivant:
x ?0,95 ?0,94 ?0,93 ?0,92 ?0,91 ?0,90
f(x)
?2Remarque : Pour f(x), on donnera une approximation décimale à 10
près.
?2Donnerunencadrementd’amplitude10 deα.
PartieC
Z0
Soit J? f(x)dx,oùαestleréeldéfinidanslapartieB,maisiln’estpasindispen-
α
sabled’avoirtraitélesquestionsdelapartieBpourtraitercettepartiejusqu’au5.a.
inclus.
AmériqueduNord 3 juin1996BaccalauréatS A.P.M.E.P.
1. Interprétergraphiquement J.
Sanschercheràcalculer J,montrergéométriquementque06J6?α.
2. a. Montrerque,pourtoutx??1,
x 1
?1?
x?1 x?1
Z0 x
b. Calculer dx enfonctiondeα.
x?1α
3. Calculer,àl’aided’uneintégrationparparties:
Z0
ln(x?1)dx enfonctiondeα.
α
4. a. Calculerl’intégrale J enfonctiondeα.
b. Enutilisantlefaitqueαestsolutionde f(x)?0,montrerque
?αJ?α?1?e (α?2).
5. Soitg lafonctiondéfiniesurRpar:
?xg(x)?x?1?e (x?2).
0 0 ?xa. Calculer g .Montrer que pour tout élément x deR, g (x)?e h(x), où
h estlafonctiondéfiniedanslapartieA.
0Endéduirelesignedeg (x)etlesensdevariationdeg.
?2b. Utiliserenparticulierl’encadrementd’amplitude10 deαpourdonner
un encadrement de J puis une valeur approchée de J en indiquant la
précision.
Remarque : Onindiquera sur la copie les résultats utilisés fournis par la
calculatrice.
AmériqueduNord 4 juin1996