Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2000

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2000 \ EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . Dans tout l'exercice, z est un nombre complexe non nul. À tout point M d'affixe z, on associe le point M ? d'affixe z ? = ? 1 z , puis le point I milieu du segment [MM ?]. L'affixe de I est donc 12 ( z? 1 z ) . Note : les questions 2, 3 et 4 sont largement indépendantes. 1. a. Donner une relation entre les modules de z et z ?. Donner une relation entre leurs arguments. b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M1 d'affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2. Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M ?1 , puis le point I1 milieu du segment [M1M ?1]. Effectuer cette construction. O M1 M2 ?? u ?? v 2. Pour cette question, ? est un réel et M est le point d'affixe z = e i?. a. Calculer sous forme algébrique l'affixe de I . b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M2 d'affixe z2 sur le cercle C , de centre O et de rayon 1.

• triangle fod


• repère orthonormal


• vecteurs ???oh


• acfg directs


• relation entre les modules de z


• réflexion d'axe


• aire du triangle dlm


• coordonnées du vecteur ????dm

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2000
• Nombre de lectures: 163
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2000\

E X E R C IC E 15 points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormalO,u,v. Dans tout l’exercice,zest un nombre complexe non nul. 1 ′ ′ À tout pointMd’affixez, on associe le pointMd’affixez= −, puis le pointI z µ ¶ 1 1 ′ milieu du segment [M M]. L’affixe deIest doncz−. 2z Note : les questions2, 3et4sont largement indépendantes. ′ 1. a.Donner une relation entre les modules dezetz. Donner une relation entre leurs arguments. b.Sur la figure cidessous est placé le pointM 1 d’affixez 1 sur le cercle de centre O et de rayon 2. ′ Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le pointM, puis 1 ′ le pointI 1 milieu du segment [M 1 M]. Effectuer cette construction. 1

M 2

−→ v

−→ O u

M 1

iθ 2.Pour cette question,θest un réel etMest le point d’affixez=e. a.Calculer sous forme algébrique l’affixe deI. b.Sur la figure cidessous est placé le pointM 2 d’affixez 2 sur le cercleC, de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le résultat de la question2 a, on peut obtenir géométriquement le pointI 2 milieu du ′ segment [M 2 M] . 2 Effectuer cette construction. Donner (sans justification) l’ensemble décrit parIlorsqueMdécritC. 3.Dans cette question,Mest un point du plan, distinct de O. a.Déterminer les pointsMdu plan complexe pour lesquelsMetIsont confondus.

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2 b.Développer (z−2i)+3. Déterminer les pointsMdu plan complexe pour lesquels l’affixe deIest 2i. 4.Dans cette question,Mest un point du plan, distinct de O, d’affixe z=x+iy(xetyréels). a.Exprimer en fonction dexetyla partie réelle et la partie imaginaire de l’affixe deI. b.Déterminer l’ensembleAdes pointsMdu plan pour lesquelsIappar tient à l’axe des abscisses. c.Déterminer l’ensembleBdes pointsMdu plan pour lesquelsIappar tient à l’axe des ordonnées.

E X E R C IC E 2 Enseignement obligatoire G

D

O

C

E

A

F

B

5 points

Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure cidessus. ³ ´ −→−→−→− L’espace est orienté par le repère orthonormai directO ; OA , OC , OD. On désigne paraun réel strictement positif. −→ −→−−→−→−→−→ L,MetKsont les points définis par OL=aOOC ,M=aOA , et BK=aBF . −−→−→ 1. a.Calculer les coordonnées du vecteur DM∧DL. b.En déduire l’aire du triangle DLM. c.Démontrer que la droite (OK) est orthogonale au plan (DLM). 2.On noteHle projeté orthogonal de O (et deK) sur le plan (DLM). −−→−−→−−→−−→ a.Démontrer que OM∙OK=OH∙OK. −−→−−→ b.Les vecteurs OHet OKétant colinéaires, on noteλle réel tel que −−→−→ OH=λOK . a Démontrer queλ=. En déduire queHappartient au segment 2 a+2 [OK]. c.Déterminer les coordonnées deH. 2 −−→−−→ a−a+2 d.ExprimerH Ken fonction de OK. En déduire queH K= p. 2 a+2

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3.À l’aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre DLM K en fonction dea.

E X E R C IC E 25 points Enseignement de spécialité Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et isocèle en O. −→−→ π On a donc (OA ,OB )=[2π]. 2 π On noteR A etR B les rotations de centres respectifs A et B et de même angleetS O 2 la symétrie de centre O. On place un point C, non situé sur la droite (AB) , on trace les carrés BE DC et ACF G −→−→ π −→−→ π directs. On a donc (BE, BC )=[2π] et (AC ,AG)=[2π]. 2 2 1. a.Déterminer S (AO) ◦S (AB) composée des réflexions d’axes (AB) et (AO). b.En écrivantR B sous la forme d’une composée de deux réflexions, dé montrer queR A ◦R B =S O . 2. a.Déterminer l’image deEparR A ◦R B . b.En déduire que O est le milieu du segment [EG]. c.On noteR F etR D les rotations de centres respectifs F et D et de même angle. Étudier l’image de C par la transformationR F ◦S O ◦R D . Déterminer la transformation R F ◦S O ◦R D . d.PlacerHle symétrique deDpar rapport à O. Démontrer queR F (H)=D. Démontrer que le triangleFODest rectangle et isocèle en O.

P R O B L È M E 10 points Soitfla fonction définie sur [0,+ ∞[ par :  2  x+x+1 1 − x f(x)=e pourx>0 2 x  f(0)=0. ³ ´ −→−→ On noteCla courbe représentative defO,dans un repère orthonormalı,(unité graphique 5 cm). Partie A

1.Démontrer que la droite (Δ) d’équationy=1 est asymptote àC. f(x)−f(0) 2.Pourx>. Étudier la limite de cette expression quand0 , calculer x xtend vers 0. (on pourra utiliser, pournentier naturel non nul, n−u limu e=0. u→+ ∞ Que peuton en déduire pour la fonctionf? Que peuton en déduire pour la courbeC? 1−x 1 ′ − 3.Démontrer que pour toutxde ]0,+ ∞[ on af(x)=e. x 4 x 4.Étudier les variations de la fonctionfet dresser le tableau des variations def.

Partie B ′ On notegla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=f(x)−x f(x). 3 2 1.Montrer que dans ]0 ;+∞[, les équationsg(x)=0 etx+x+2x−1=0 sont équivalentes.

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3 2 2.Démontrer que l’équationx+x+2x−1=0 admet une seule racine réelleα −2 dont on justifiera un encadrement à 10près. f(α) −1 3.On poseA=. EncadrerAà 2×(justifier) et montrer que10 près α ′ A=f(α). 4.Pour touta>0, on noteT a la tangente àCau point d’abscissea. Montrer que T a a pour équationy=A x. TracerT a , puis la courbeC. 5.Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentesT a àC(en des points d’abscisses non nulles), seuleT α passe par l’origine O. 6.On admettra queT α est audessus deCsur ]0 ;+∞[ . a.Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solu tions de l’équationf(x)=m, suivant le réelmdonné. b.Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solu tions de l’équationf(x)=m xselon le réelmdonné.

Partie C Z 1 ⋆ 1.Pourn∈Non poseu n =f(x) dx. Sans calculer explicitementu n , déter 1 n miner le signe deu n+1 −u n . En déduire que la suite (u n ) est croissante. 1 − 2.Démontrer que la fonctionh, définie sur ]0 ;+ ∞[ parh(x)=(x+1)e est x une primitive defsur ]0 ;+ ∞[. 3.Calculeru n . Interpréter graphiquement le résultat. 4.Étudier la convergence de la suite (u n ).

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