Baccalauréat S Antilles Guyane juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2006 EXERCICE 1 1. Restitution organisée des connaissances Soit a un réel strictement positif et f la fonction définie et dérivable sur I=]0 ;+∞[ par : f (x)= ln(ax)? ln(x) Alors f ?(x)= a ax ? 1 x = 1 x ? 1 x = 0 Ainsi, f est constante sur ]0 ;+∞[, mais : f (1)= lna? ln1= lna Donc cette constante vaut lna. D'où : ?x ? I , f (x)= lna ? ln(ax)? lnx = lna C'est à dire : ?x ? I , ln(ax)= lnx+ lna 2. Pour tous réels strictement positifs a et b : ln ( 1 b ) + ln(b)= ln ( 1 b ?b ) = ln(1)= 0 Donc ln ( 1 b ) =? ln(b) De plus, ln (a b ) = ln ( a? 1 b ) = ln(a)+ ln ( 1 b ) = lna? lnb 3.

• triangle rectangle


• ?3x ?4


• cercle de diamètre


• lna? lnb


• triangle de? rectangle en ?


• cylindres de la production


• equation différentielle

Sujets

• Triangle rectangle
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2006
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatSAntilles-Guyanejuin2006
EXERCICE1
1. Restitutionorganiséedesconnaissances
Soita unréelstrictementpositifet f lafonctiondéfinieetdérivablesurI=]0;+∞[par:
f(x)=ln(ax)−ln(x)
Alors
a 1 1 1f (x)= − = − =0
ax x x x
Ainsi, f estconstantesur]0;+∞[,mais:
f(1)=lna−ln1=lna
Donccetteconstantevautlna.D’où:
∀x ∈I, f(x)=lna⇔ln(ax)−lnx=lna
C’estàdire:
∀x ∈I,ln(ax)=lnx+lna
2. Pourtousréelsstrictementpositifsa etb :

1 1
ln +ln(b)=ln ×b =ln(1)=0
b b
Donc
1
ln =−ln(b)
b
Deplus, a 1 1
ln =ln a× =ln(a)+ln =lna−lnb
b b b
3. Ona
0,69ln20,70et1,09ln31,10
Donc
0,69+1,09ln2+ln30,70+1,10⇔1,78ln61,80
Ainsi
1
−1,80−ln6−1,78⇔−1,80ln −1,78
6

3Deplus,ln8=ln 2 =3ln2donc
ln83×0,70⇔2,07ln82,13×0,69
Et
−2,1−ln8−2,07
Ainsi
3
1,09−2,1ln3−ln81,10−2,07⇔−1,01ln −0,97
8
EXERCICE2BaccalauréatS
2x x1. L’équatione −3e −4=0admetdansRunesolution(réponseb),car:
xX =e2x xe −3e −4=0 ⇔ 2X −3X −4=0
xX =e
⇔
X=−1ouX =4
x x⇔ e =−1oue =4
⇔ x =ln4
−x −x2. L’expression−e esttoujoursnégative(réponseb),care esttoujourspositive.
x2e −1
3. lim =2(réponsec)car:
xx→+∞ e +2
x x −x −x2e −1 e 2−1e 2−1e( ) −x= = et lim e =0
x x −x −x x→+∞e +2 e (1+2e ) 1+2e
1 x
24. L’équationdifférentielle y =2y −1apourensembledesolutionsx→ke −1aveck ∈R(réponsec),
car:
1 1 y =2y −1⇔y = y+
2 2
EXERCICE3
Partie A
Soit X unevariablealéatoirecontinuequisuituneloiexponentielledeparamètreλ.
Alors: a
−λt −λaP(Xa)= λe dt =1−e
0
1. La probabilité P(X1) s’interprètecomme étant l’aire sous la courbe de la densité comprise entre
lesdroitesx=0,x =1ety =0.
−λt2. Commeladensitéde X estlafonctiondéfiniesur[0;+∞[,par f(t)=λe ,alorsf(0)=λ.
Doncsurlegraphique,leparamètreλestl’ordonnéedupointdelacourbede f d’abscisse0.
Partie B
Onposeλ=1,5.
−1,5×1 −1,51. P(X1)=1−e =1−e ≈=0,777
−1,5×2 −32. P(X2)=1−P(X2)=e =e .
−33. CommeP(1X2)=P(X2)−P(X1),alorsà10 près:
−1,5 −3P(1X2)=e −e =0,173
x
−1,5t4. Calculonsl’intégraleF(x)= 1,5te dt enutilisantuneintégrationparparties:
0
−1,5t −1,5tu =1,5e u=−e
v =tv =1
Donc
x
x−1,5t −1,5tF(x) = −te − −e dt0
0 x
x 1−1,5t −1,5t= −te − e
0 1,5 0
1 1−1,5x −1,5x=− xe − e +
1,5 1,5
x xMais lim xe = lim e =0,donc
x→−∞ x→−∞
1
E(X)= lim F(x)=
x→+∞ 1,5
Antilles-Guyane 2 juin2006
BaccalauréatS
Partie C
Unemachine outilfabrique des cylindres. Onmesure l’écart,en dixièmes de millimètre, entrelediamètre
descylindresetlavaleurderéglagedelamachine.
Onsupposequecetécartsuituneloiexponentielledeparamètreλ=1,5.
Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rec-
tification qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est
refusé.
1. Onprélèveauhasarduncylindredanslaproduction.
−3(a) Laprobabilitéquelecylindresoitacceptéest,à10 près:
p =P(X1)+0,8×P(1X2)=0,777+0,8×0,173=0,915
(b) Sachantquelecylindreestaccepté,laprobabilitéqu’ilaitsubiunerectificationest:
0,8×P(1X2)
P(X1)+0,8×P(1X2)
2. (a) Commeonprélèvedemanièreindépendantedixcylindresdelaproduction,supposéesuffisam-
mentimportantepourassimilercetirageàuntiragesuccessifavecremise,laprobabilitéqueles
dixcylindressoientacceptés,est:
10p
(b) Laprobabilitéqu’aumoinsuncylindresoitrefusé,estenutilisantl’événementcontraire:
101−p
EXERCICE4
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
→− →−1. Dansleplancomplexerapportéàunrepèreorthonormal(O;u, v),onconsidèrelespoints
– A d’affixea,a∈R
– B d’affixeb+i,b∈R
π
– C imagedeB danslarotationdecentre A etd’angle .
3
π(a) CommeC estl’imagedeB danslarotationdecentre A etd’angle ,alorsCapouraffixe:
3
π 1i
3e (b+i−a)+a = 1+i 3 (b−a+i)+a
2
1 1
= b−a− 3+2a + i 3(b−a)+1
2 2
1 1
= b+a− 3 + i 3(b−a)+1
2 2
→−PourquelepointC appartienneàl’axe O; v ,ilfautetilsuffitquelapartieréelledel’affixedeC
soitnulle,donc: 1
b+a− 3 =0⇔b= 3−a
2
(b) Danscecas,l’affixedupointC est,enfonctiondea :
1
i 3( 3−a−a)+1 = 2− 3a i
2

2. Dans cette question, on pose a = 3etb =0. On considère les pointsC d’affixe c=−ietD d’affixe
d =2+ 3−2i 3.
Antilles-Guyane 3 juin2006BaccalauréatS

(a) D’aprèsl’étudeprécédente,letriangle ABC estéquilatéralcarb= 3−a=0etc = 2− 3a i=
−i
(b)

d−a 2+ 3−2i 3− 3
=
c−a −i− 3

2(1−i 3)
=
− 3−i

2(1−i 3)(− 3+i)
=
3+1
= 2i
Donc −→ −→ d−a π
AC;AD =arg =arg(2i)=
c−a 2
Ainsiletriangle ACD estrectangleenA.
π(c) CommeE estl’imagedeD danslarotationdecentre A etd’angle ,alorssonaffixeest:3
πi
3e = e (d−a)+a
1
= 1+i 3 2+ 3−2i 3− 3 + 3
2
1
= 1+i 3 2−2i 3 + 3
2
= 1+i 3 1−i 3 + 3

= 1+3+ 3=4+ 3
−→
(d) CommeF estl’imagedeD danslatranslationdevecteur AC,alorssonaffixeest:

f =2+ 3−2i 3+(−i− 3)=2−i 1+2 3
(e) LetriangleBEFestéquilatéral,car:
2
2 2BE =| i−(4+ 3)| =1+ 4+ 3 =1+16+8 3+3=20+8 3

2 2 2BF =| i− 2−i 1+2 3 | =|−2+2i 1+ 3 |
2
= 4+4 1+ 3 =20+8 3

2 2 2EF =| 4+ 3−2+i 1+2 3 | =|2+ 3+i 1+2 3 |
2 2
= 2+ 3 + 1+2 3 =20+8 3
A=D etI =E :ilexistedoncuneuniquesimilitudedirectes transformant A enD etI enE.
IE
Lerapportdelasimilitudes est .
AD
PrenonsOA=1. 21 5 52 2– DansletriangleEDIrectangleenD,lethéorèmedePythagores’écrit:IE =1 + = =⇒ IE= .
2 4 2
2 2 2– Dansletrianglerectangle ABD,lethéorèmedePythagores’écrit:AD =2 +1 =5 =⇒ AD= 5.
5
IE 12Finalement = = .
AD 25
1 π
s estdoncunesimilitudedirectederapport etd’angle+
2 2
Antilles-Guyane 4 juin2006

BaccalauréatS
−−−−−→ π SoitB =s(B).Ona AB, IB =+ ,doncB appartientàlaperpendiculaireàladroite(AB)contenantI,
2
doncappartientàlademi-droite[ID). − −−−−−→ π
DemêmeenprenantlesdeuxpointsD etB etleursimagespars : DB, EB =+ ,doncB appartientàla
2
laperpendiculaireà(BD)contenantE.
FinalementB appartientauxdroites(BD)et(DE)etdoncB =D.
Par hypothèseC estlemilieude[BD],doncsonimagepars estlemilieudusegmentimage[DE].
π−→ −→
1. SoitΩlecentredes;onapardéfinition ΩA,ΩI = ,doncletriangleAIΩrectangleenΩestinscrit
2
danslecercledediamètre[AI]; −→ −→ π
De même ΩD,ΩE = ,doncletriangleDEΩ rectangle enΩ est inscrit dans le cercle de diamètre
2
[DE].
2. J est le milieu de [OC],C le milieu de [BD]et(OC) est parallèle à (AB), donc J est aussi le milieu de −→ −→−→ π −→ π [AD].SonimageJ estlemilieudusegmentimage[IE]et ΩJ,ΩJ = ,or HJ, HJ =− .Conclu-
2 2
sion:Hn’estpaslecentredelasimilitude s.
3. D’aprèslaquestiona.Ωappartientauxcerclesdediamètres[AI]et[DE];cen’estpaslepointH,c’est
doncl’autrepointcommunauxdeuxcercles.
24. Onsait quel’écritured’unesimilitude directe estdela formez =az+b avec(a ; b)∈C .Enprenant
lespoints A etD etleursimagesI etE,onobtientlesystème:

1 1 +i1 i− = a+b 2=⇒ a(2−i)= +i ⇐⇒ a= =2 2 2−i 2−1 = a −1+i)+b
1 i 1 i
Puispardifférenceb=− +i− =− + .
2 2 2 2
L’écriture complexe de s estdonc:
1 1 1z = iz− + i.
2 2 2
12
11
10
9
CDI B8
7
H6
5
J J4 C
3
2
Ω1
0
E A-1 O
-2
-3
-4
-12-11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
EXERCICE5
Partie A
1. Figureassociée:
Antilles-Guyane 5 juin2006BaccalauréatS
→− A A B B B1 2 2 1 0uA0
0 246810 12
2. Ondéfinitlessuites(a )et(b )desabscissesrespectivesdespoints A etB .n n n n
OrA ,d’abscissea ,estlebarycentredespointspondérés(A ,2),avecA d’abscissea ,et(B ,1),n+1 n+1 n n n n
d’abscisseb ,donc,grâceàlaformule,avecBn n
2×x +1×xA Bn nx =An+1 2+1
,ona:
2a +bn n
a =n+1
3
Etdemêmeque
a +3bn n
b =n+1
4
Partie B
1. Onconsidèrelasuite(u )définie,pourtoutentiernatureln,paru =b −a .Alors:n n n n
(a)
u = b −an+1 n+1 n+1
a +3b 2a +bn n n n
= −
4 3
3a +9b −8a −4bn n n n=
12
5b −5an n
=
12
5
= (b −a )n n
12
5
= un12
5Donclasuite(u )estgéométriquederaison .n 12
(b) Ainsi,pourtoutentiernatureln,
n n n5 5 5
u = ×u = ×(12−0)=12n 0
12 12 12
n5
5(c) Comme−1< <1,alors lim =0,ainsi(u )convergevers0.n12 n→+∞ 12
Donclorsquen tendvers+∞,lespoints A etB sonttrèsproches.n n
2. (a)
2a +b 2a +b −3a b −a un n n n n n n n
a −a = −a = = = >0n+1 n n
3 3 3 3
Ainsilasuite(a )estcroissante.n
(b)
a +3b a +3b −4b a −b un n n n n n n nb −b = −b = = =− <0n+1 n n
4 3 4 4