Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2006

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2006 EXERCICE 1 6 points On se propose de déterminer des valeurs approchées de l'intégrale I = ∫ 1 2 0 10t2 1+ t2 dt en utilisant deux méthodes distinctes. Les parties A et B sont largement indépendantes l'une de l'autre. PARTIE A Utilisation d'une intégration par parties 1. En remarquant que 10t 2 1+ t2 = 5t ? 2t 1+ t2 , établir l'égalité I= 52 ? ln (5 4 ) ?5 ∫ 1 2 0 ln(1+ t2) dt . 2. On pose, pour x positif ou nul, f (x)= ln(1+ x)? x + x 2 2 et g (x)= ln(1+ x)? x. a. En utilisant les variations de f , démontrer que f (x) > 0. En procédant de la même façon, on pourrait établir que g (x) 6 0, inégalité que l'on admettra ici. b. À l'aide de ce qui précède, montrer que l'encadrement : t2? t 4 2 6 ln (1+ t2)6 t2. est vrai pour tout réel t . c. Déduire de la question précédente que 5 24 6?5 ∫ 1 2 0 ln(1+ t2) dt 6? 37192 .

• application du plan complexe d'écriture complexe


• triangle rectangle


• centre de gravité du triangle beg


• dessin joint en annexe


• image de? par la symétrie orthogo- nale d'axe

Sujets

• Triangle rectangle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2006
• Nombre de lectures: 44
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2006

E X E R C IC E 1 6points Z 1 2 10t 2 On se propose de déterminer des valeurs approchées de l’intégrale I= dt 2 0 1+t en utilisant deux méthodes distinctes. Les parties A et B sont largement indépendantes l’une de l’autre. PARTIE A Utilisation d’une intégration par parties

2 10t2t 1.En remarquant que=5t×, établir l’égalité 2 2 1+t1+t µ ¶ Z 1 5 5 ¡ ¢ 2 2 I= ×ln−5 ln1+tdt. 2 4 0 2 x 2.On pose, pourxpositif ou nul,f(x)=ln(1+x)−x+etg(x)=ln(1+x)−x. 2 a.En utilisant les variations def, démontrer quef(x) > 0. En procédant de la même façon, on pourrait établir queg(x) 6 0, inégalité que l’on admettra ici. b.À l’aide de ce qui précède, montrer que l’encadrement :

4 t ¡ ¢ 2 22 t− 6 ln 1+t 6 t. 2 est vrai pour tout réelt. c.Déduire de la question précédente que Z 1 5 2 ¡ ¢ 37 2 6 −15 ln+tdt 6 −. 24 0 192 3.En utilisant les questions précédentes, donner un encadrement d’amplitude inférieure à 0,02 de I par des nombres décimaux ayant trois chiffres après la virgule.

PARTIE B Utilisation de la méthode d’Euler Z ·¸ x 2 10t1 1.On poseϕ(x)=dtpourx∈.0 ; 2 0 1+t2 Préciserϕ(0) ainsi que la fonction dérivée deϕ. 2.On rappelle que la méthode d’Euler permet de construire une suite de points ¡ ¢ M n x n ;y n proches de la courbe représentative deϕ. En choisissant comme pash=on obtient la suite de points0, 1,M n définie pournentier naturel par : ½ ½ x 0 =0x n+1 =x n +0, 1 et ′ y 0 =0y n+1 =y−n+ϕ ( x n ) ×0, 1 2 n n En utilisant, sans la justifier, l’égalitéx n =vérifier quey n+1 =y n +. 2 10 100+n

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

3.Calculery 1 , ety 2 , puis exprimery 3 ,y 4 ety 5 sous la forme d’une somme de fractions que l’on ne cherchera pas à simplifier. Donner maintenant une valeur approchée à 0,001 près dey 5 . µ ¶ 1 1 Le réelx 5 ,étant égal ày 5 est donc une valeur approchée deϕc’està 2 2 dire de I. 4.Avec la méthode d’Euler au pash=0, 01,on obtient, pour I, la valeur appro chée 0,354. Les valeurs de I obtenues avec la méthode d’Euler sontelles compatibles avec l’encadrement de la question 3. de la partie A ?

E X E R C IC E points2 5 ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. On désigne par A et B les point, d’affixes respectives 2 et 3. On fera un dessin (unité graphique 2 cm) qui sera complété selon indications de l’énoncé. La question1est indépendante des questions2et3. 1. a.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation

2 z−4z+6=0. b.On désigne par M 1 et M 2 les points d’affixes respectives p z 1 =2+i 2etz 2 =2−i 2. z 1 −3 Déterminer la forme algébrique du nombre complexe. z 1 En déduire que le triangle OBM 1 est un triangle rectangle. c.Démontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M 1 et M 2 , appar tiennent à un même cercleCque l’on précisera. Tracer le cercleCet placer les points M 1 et M 2 sur le dessin. 2.On appellefl’application du plan qui, à tout pointMd’affixezassocie le ′ ′′2 pointMd’affixezdéfinie par l’égalitéz=z−4z+6. On désigne parΓle cercle de centre A et de rayon2. Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin, ′2 a.Vérifier l’égalité suivantez−2=(z−2) . p iθ b.SoitMle point deΓd’affixez=2+2e oùθdésigne un réel de l’inter valle ]−π;π]. ′2iθ′ Vérifier l’égalité suivante :z=2+2e eten déduire queMest situé sur ′ un cercleΓdont on précisera le centre et le rayon. ′ TracerΓsur le dessin, 2+i 6 ′ 3.On appelle D le point d’affixed=2+l’image deet on désigne par D 2 D parf. a.Écrire sous forme exponentielle le nombre complexed−2. En déduire que D est situé sur le cercleΓ. ³ ´ −→ −−→ ′ b.À l’aide la question 2. b., donner une mesure de l’angleuet pla, AD ′ cer le point Dsur le dessin. ′ c.est équilatéral.Démontrer que le triangle OAD

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

E X E R C IC E 3 4points Partie A On suppose connu le résultat suivant : SiXest une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre stricte Z t −λx ment positifλalors, pourtréel positif,p(X 6 t)=λe dx. 0 −λt •Démontrer l’égalité suivante :p(X>t)=e . •En déduire que, poursettréels positifs, l’égalité suivante est vraie P (X>t) (X>s+t)=p(X>s) (loi de durée de vie sans vieillissement), P (X>t) (X>s+t) désignant la probabilité de l’évènement (X>s+t) sachant que (X>t) est réalisé. Partie B La durée d’attente exprimée en minutes à chaque caisse d’un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoireTqui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positifλ. 1. a.Déterminer une expression exacte deλsachant quep(T 6 10)=0, 7. On prendra, pour la suite de l’exercice, la valeur 0,12 comme valeur ap prochée deλ. b.Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle P (T>10) (T>15). c.éterminerSachant qu’un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, d la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minutes. On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à 0,01 près de la réponse. On suppose que la durée d’attente à une caisse de ce supermarché est indé pendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6 caisses sont ouvertes. On désigne parYla variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d’attente est supérieure à 10 minutes. a.Donner la nature et les paramètres caractéristiques deY. b.Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d’attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10 minutes. Déterminer à 0,01 près la probabilité d’ouverture de nouvelles caisses.

E X E R C IC E points4 5 Dans un cube ABCDEFGH, on désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [GH]. K désigne le centre de la face BCGE. Les calculs seront effectués dans ³ ´ −→−→→− le repère orthonormalA ;AB ,AD , AE. J H G 1. a.Démontrer que le quadrilatère DIFJ est un paral lélogramme. F E Établir que DIFJ est en fait un losange et montrer que × 6 K D l’aire de ce losange est égale à. C 2

  2 A B I −→   b.Vérifier que le vecteurn 1 est un vecteur normal au plan (DIJ). −1

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

En déduire une équation cartésienne de ce plan. c.r le volumeDéterminer la distance du point E au plan (DIJ), puis calcule de la pyramide EDIFJ. On rappelle que le volume V d’une pyramide de hauteurhet 1 de base correspondanteBest donné par la formule suivante V= ×B×h. 3 2.Soit (Δ) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ) a.Donner une représentation paramétrique de (Δ) et prouver que K est un point de (Δ). b.Déterminer les coordonnées du point d’intersection L de (Δ) et du plan (DIJ). c.Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BEG. 3.Soit (S) l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient l’équa 4 2 2 2 tionx+y+z−2x−y−x+ =0. 3 a.Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera le centre et le rayon. b.Montrer que L est un point de (S), Quelle propriété géométrique relative à (S) et au plan (DIJ) peutun déduire de ce dernier résultat ?

E X E R C IC E points4 5 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. On désigne par A et C les points d’affixes respectives 1 et 2i. Sur le dessin joint en annexe (à rendre avec la copie), le quadrilatère OABC est un rectangle et I désigne le milieu de [AB]. 1. a.Justifier le fait qu’il existe une unique similitude directesqui transforme O en I et A en C. b.Déterminer l’écriture complexe des. En déduire les éléments caracté ristiques deset, en particulier, établir que l’affixe du centreΩdesvaut 1+3i . 5 c.Vérifier par un calcul queΩest situé sur le cercleΓde centre A passant par O. 2.Soitfl’application du plan complexe d’écriture complexe

−3−4i 8+4i z7−→z+. 5 5 a.Déterminer les images parfdes points A et C. En déduire la nature pré cise def, puis démontrer que I est l’image deΩpar la symétrie orthogo nale d’axe (AC). b.Construire le cercleΓsur le dessin et placer également le pointΩen uti lisant les informations géométriques précédentes. ′ ′′ 3.À tout pointMd’imageMpars, on associe le pointMdéfini par l’égalité −−−−→ −−→ ′ ′′ vectorielleM M=ΩM. ′′ a.Quel est le pointΩassocié àΩ? ′′ b.Construire avec soin le point Aen laissant les traits de construction. c.On suppose maintenant queMa pour affixez. 4+2i ′′ ′′ Démontrer queMa pour affixez=iz+. 5 ′′ En déduire queMest l’image deMpar une similitude dont on donnera les éléments caractéristiques. ′′ ′′ d.Déterminer et représenter sur le dessin l’ensembleΓdes pointsM lorsqueMdécrit le cercleΓ.

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Baccalauréat S

Antilles–Guyane

Annexe (exercice de spécialité)

C

−→ v

O

−→ u

5

A

B

I

A. P. M. E. P.

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