Baccalauréat S Asie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Asie juin 2000 \ Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d'une flé- chette. Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 13 . Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, la pro- babilité qu'elle manque la cible au lancer suivant est égale à 45 . On suppose qu'aupremier lancer elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer. Pour tout entier natureln strictement positif, on considère les évènements suivants : An : « Alice atteint la cible au ne coup ». Bn : « Alice rate la cible au ne coup ». On pose Pn = p(An). Pour les questions 1. et 2. on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré. 1. Déterminer p1 et montrer que p2 = 4 15. 2. Montrer que, pour tout entier naturel n > 2, pn = 2 15pn?1+ 1 5. 3. Pour n > 1 on pose un = pn ? 3 13.Montrer que la suite (un ) est une suite géométrique, dont on précisera le pre- mier terme u1 et la raison q . 4. Écrire un puis pn en fonction de n.

• àl'extérieur du quadrilatère


• aire s1


• carré situé


• axe des abscisses


• calcul d'aire


• carrés a1b1c1d1


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2000
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• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Asie juin 2000\

Exercice 14 points Commun à tous les candidats Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une flé chette. Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible 1 au lancer suivant est égale à. Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la pro 3 4 babilité qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à. On suppose qu’au 5 premier lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer. Pour tout entier naturelnstrictement positif, on considère les évènements suivants : e A n : « Alice atteint la cible auncoup ». e B n : « Alice rate la cible auncoup ». On poseP n =p(A n ). Pour les questions1.et2.on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré.

4 1.Déterminerp 1 et montrer quep 2 =. 15

2.Montrer que, pour tout entier natureln > 2,

2 1 p n =p n−1 +. 15 5

3 3.Pourn > 1 on poseu n =p n −. 13 Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique, dont on précisera le pre mier termeu 1 et la raisonq.

4.Écrireu n puisp n en fonction den.

5.Déterminer limp n . n→+ ∞

Exercice 25 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormal directO,ı,, d’unité 2 cm, on considère les points A,B, Cet D d’affixes respectives : z A = −i ;z B =3 ;z C =2+3i etz D = −1+2i. 1.B, Cet D.Placer sur une figure les points A,

z C −z A 2. a..Interpréter géométriquement le module et l’argument du complexe z D −z B z C −z A b.Calculer le complexe. z D −z B c.Que pouvezvous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ? 3. a.Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.

b.Calculer l’aires 0 du quadrilatère ABCD.

2.Dans cette question,xetysont deux entiers relatifs.

1.024).Déterminer PGCD(2688 ; 3

Asie

c.Déterminer, en fonction den, l’aireS n de la figure obtenue par la juxta position du quadrilatère ABCD et des carrés A 1 B 1 C 1 D 1 , A 2 B 2 C 2 D 2 , .et. . A n B n C n D n .

Exercice 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

2

b.Tracer le carré A 1 B 1 C 1 D 1 et déterminer son aires 1 . 5. a.On continue par le même procédé : un carré A n B n C n D n étant déterminé, −−−−−→ on considère les points A n+1 , B n+1 , C n+1 et D n+1 tels que D n A n+1 = −−−−−−−→−−−−−→ A n+1 B n+1 =B n+1 C n où les points A n+1 et B n+1 appartiennent à [D n C n ], le quadrilatère A n+1 B n+1 C n+1 D n+1 étant un carré situé à l’extérieur du carré A n B n C n D n . Tracer le carré A 2 B 2 C 2 D 2 .

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b.Soits n l’aire du carré A n B n C n D n . Exprimers n+1 en fonction des n , puis den. En déduires n , en fonction den.

c.Déduire de ce qui précède les solutions de (2). ³ ´ −→−→ −→ 3.Soit O,ı,,kun repère orthonormal de l’espace. On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives

5 points

b.Vérifier que (1 ;−2) est une solution particulière de l’équation (2).

c.En déduire l’ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

b.Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l’équation (2).

a.Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D).

x+2y−z= −2 et 3x−y+5z=0.

d.La suite (s n ) estelle convergente ? Préciser sa limite si elle existe.

−−→ 4. a.Placer sur la figure précédente les points A 1 , B 1 , C 1 et D 1 tels que DA 1 = −−−→−−→ A 1 B 1 =B 1 C , où les points A 1 et B 1 appartiennent à [DC], le quadrilatère A 1 B 1 C 1 D 1 étant un carré situé àl’extérieur du quadrilatère ABCD.

Baccalauréat S

a.Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes (1) 2 688x+3 024y= −3 360; (2) 8x+9y= −10.

Baccalauréat S

Problème

Partie A Étude d’une fonction On considère la fonctionfdéfinie sur [0 ;+ ∞[ par :

11 points

lnx f(x)=1+. x Soit (C) la courbe représentative defdans le plan rapporté à un repère orthonor ³ ´ −→−→ mal O,ı,; unité graphique : 5 cm.

1.Calculer les limites defen 0 et en+ ∞. Déterminer les asymptotes de (C).

2.Étudier le sens de variation def. Dresser le tableau de variation def. " # 1 3.Montrer que l’équationf(x)=une solution; 10 admet sur l’ intervalle e unique, notéeα. −2 Déterminer un encadrement deα, d’amplitude 10. Donner, suivant les valeurs dex, le signe def(x) sur ]0 ;+ ∞[.

4.Tracer la courbe (C).

Partie B Calcul d’aire

1.Déterminer une équation de la tangente (D) à (C) au point d’abscisse 1.

2. a.Soitϕla fonction définie, pour toutx>0, par : 2 ϕ(x)=x−x+lnx. ′ Calculerϕ(x). En déduire le sens de variation deϕ, puis le signe deϕ(x), sur l’intervalle ]0 ;+ ∞[.

ϕ(x) b.Montrer que, pour toutx>0,f(x)−x=. x

c.En déduire la position relative de (C) et de (D). 3.On considère le domaine limité sur le graphique par l’axe des abscisses, la courbe (C) et la tangente (D).

a.Hachurer ce domaine.

2 b.SoitAson aire, en cm. Écrire la valeur exacte deAcomme expression polynomiale du second degré enα.

Partie C Étude d’une suite # # 1 Soitx 0 ;un réel appartenant à l’intervalleα. On noteM 0 le point de (C)d abs e cissex 0 .

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Baccalauréat S

1. a.Donner une équation de la tangente (T 0 ) à (C) enM 0 , en fonction de ′ x 0 ,f(x 0 ) etf(x 0 ).

b.Soitx 1 l’abscisse du point d’intersection de (T 0 ) avec l’axe des abscisses. ′ Écrirex 1 en fonction dex 0 ,f(x 0 ) etf(x 0 ). # # 1 2.On considère la fonctionhdéfinie sur;αpar : e

f(x) h(x)=x−. (On remarquera queh(x 0 )=x 1 ). ′ f(x) ′′ f(x)×f(x) ′ a.Montrer queh(x)=. ′2 [f(x)] # # 1 ′′ b.Calculerf(x;) et étudier son signe surα. e # # 1 c.En déduire queh;est strictement croissante surα, puis montrer e quex 1 <α. # # f(x) 1 d.En écrivanth(x)−x= −, étudier le signe deh(x)−xsur ;α ′ f(x)e 1 En déduire que<x 0 <x 1 <α. e # # 1 3. a.Démontrer que, pour toutx;appartenant àα,h(x) appartient à e # # 1 ;α e b.On considère la suite (x n ) de réels définie parx 0 etx n+1 =h(x n ) pour tout entier natureln. Montrer que la suite (x n ) est strictement croissante.

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