Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) , unité graphique : 2 cm. On appelle A le point d'affixe ?2i. À tout point M du plan d'affixe z, on associe le point M ? d'affixe z ? = ?2z+2i. 1. On considère le point B d'affixe b = 3?2i. Déterminer la forme algébrique des affixes a? et b? des points A? et B ? associés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin. 2. Montrer que si M appartient à la droite (∆) d'équation y =?2 alors M ? appar- tient aussi à (∆). 3. Démontrer que pour tout point M d'affixe z , ? ?z ? +2i ? ? = 2|z + 2i| ; interprétez géométriquement cette égalité. 4. Pour tout point M distinct de A on appelle ? un argument de z+2i. a. Justifier que ? est une mesure de l'angle ( ?? u , ??? AM ) . b. Démontrer que (z+2i)(z ? +2i) est un réel négatif ou nul.

• indice ig


• points réservé aux candidats


• probabilité


• distribution de lamasse salariale


• ?z ?


• calcul de l'indice


• bus de la ville


• repère orthonormal direct

Sujets

• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2004
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004

E XERCICE 14 points Commun à tous les candidats   −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormal directO,u,v, unité graphique : 2 cm. On appelle A le point d’affixe−2i.  À tout pointMdu plan d’affixez, on associe le pointMd’affixe

 z= −2z+2i. 1.On considère le point B d’affixeb=3−2i.    Déterminer la forme algébrique des affixesaetbdes pointsAetBassociés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin.  2.Montrer que siMappartient à la droite (Δ) d’équationy= −2 alorsMappar tient aussi à (Δ).    3.Démontrer que pour tout pointMd’affixez,z+2i=2|z+2i|; interprétez géométriquement cette égalité. 4.Pour tout pointMdistinct de A on appelleθun argument dez+2i.   −→−−→ a.Justifier queθest une mesure de l’angleu, AM.  b.Démontrer que (z+2i)(z+2i) est un réel négatif ou nul.  c.En déduire un argument dez+2i en fonction deθ.  d.Que peuton en déduire pour les demidroites [AM) et [AM) ? 5.En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géo  métrique du pointMassocié au pointM.

E XERCICE 25 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Un employé se rend à son travail. S’il est à l’heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l’entreprise, s’il est en retard il prend le bus de la ville et il lui en coûte 1,50€. Si l’employé est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le len 1 demain est, s’il est en retard un jour donné la probabilité qu’il soit en retard le 5 1 lendemain est. 20 Pour tout entier naturel non nuln, on appelleR n l’évènement : «l’employé est en retard le journ». On notep n , la probabilité deR n etq n , celle deR n . On suppose que p 1 =0. 1.Détermination d’une relation de récurrence.

a.Déterminer les probabilités conditionnellesp ( R). R n n+1 ) etp ( R n+1 R n   b.Déterminerp ( R n+1 ∩R n ) en fonction dep n etp R n+1 ∩R n en fonction deq n c.Exprimerp n+1 en fonction dep n et deq n . 1 3 d.En déduire quep n+1 = −p n . 5 20

Baccalauréat S

  2.Étude de la suitep n . 4 Pour tout entier naturel non nuln, on posev n =p n −. 23 3 a.Démontrer que (v n ) est une suite géométrique de raison−. 20 b.Exprimerv n puisp n en fonction den.   c.Justifier que la suitep n est convergente et calculer sa limite.

E XERCICE 25 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité On se propose dans cet exercice d’étudier le problème suivant : «Les nombres dont l’écriture décimale n’utilise que le seul chiffre1peuventils être premiers? » Pour tout entier naturelp  2, on poseN p =1 . . . 1où 1 apparaîtpfois. p−1p−2 0 On rappelle dès lors queN p =10+10+ ∙ ∙ ∙ +10 . 1.Les nombresN 2 =11,N 3 =111,N 4 =1111 sontils premiers ? p 10−1 p 2.Prouver queN p =. Peuton être certain que 10−1 est divisible par 9 ? 9 3.On se propose de démontrer que sipn’est pas premier, alorsN p n’est pas premier. On rappelle que pour tout nombre réelxet tout entier naturelnnon nul,   n n−1n−2 x−1=(x−1)x+x+ ∙ ∙ ∙ +x+1 . a.On suppose quepest pair et on posep=2q, oùqest un entier naturel plus grand que 1. Montrer queN p est divisible parN 2 =11. b.On suppose quepest multiple de 3 et on posep=3q, oùqest un entier naturel plus grand que 1. Montrer queN p est divisible parN 3 =111. c.On supposepnon premier et on posep=k qoùketqsont des entiers naturels plus grands que 1. En déduire queN p est divisible parN k . 4.Énoncer une condition nécessaire pour queN p soit premier. Cette condition estelle suffisante ?

E XERCICE 39 points Commun à tous les candidats On s’intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d’une entreprise. Les fonctionsfassociées définies sur l’intervalle [0; 1] doivent vérifier les conditions suivantes : (1)f(0)=0 etf(1)=1 ; (2)fest croissante sur l’intervalle [0 ; 1] (3) Pour tout réelxappartenant à l’intervalle [0 ; 1],f(x)  x.   −→−→ Le plan est rapporté au repère orthonormalR= O,ı,, unité graphique 10 cm.

I. Première partieÉtude d’un modèle On appellegla fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par x−1 g(x)=xe .

Centres étrangers

2

juin 2004

Baccalauréat S

1.Prouver quegvérifie les conditions (1) et (2). x x 2.Montrer queg(x)−x=(e−e) et en déduire quegvérifie la condition (3). e 3.Tracer les droites d’équationsy=xetx=1 et la courbe représentative deg dans le repèreR.

II. Seconde partieUn calcul d’indice Pour une fonctionfvérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indiceI f égal à l’aire exprimée en unité d’aire, du domaine plan M délimité par les droites d’équationsy=x,x=1 et la courbe représentative def.  1   1.Justifier queI f =x−f(x) dx. 0 2.À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’indiceI g , associé àg. 3.On s’intéresse aux fonctionsf n , définies sur l’intervalle [0 ; 1] par

n 2x f n (x)= 1+x oùnest un entier naturel supérieur en égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d’étudier l’évolution de leur indiceI n lorsquentend vers l’infini.   1 1   a.On poseI n =x−f n (x) dxetu n =f n (x) dx. Prouver que 0 0 1 I n = −u n . 2 n+1n t t b.l’intervalle [0 ; 1] ; en déduire que la suite (Comparer et suru n ) 1+t1+t est décroissante. c.Prouver que pour tout réeltappartenant à l’intervalle [0 ; 1],

n t n 0   t. 1+t 2 d.En déduire que pour tout entier natureln  2, 0  u n  . n+1 e.Déterminer alors la limite deI n quandntend vers l’infini.

Centres étrangers

3

juin 2004