Baccalauréat S Centres étrangers1 juin Calculatrice autorisée

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Centres étrangers1 juin 2002 \ Calculatrice autorisée EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats On définit deux suites u et v par u0 = 1, v0 = 12 et pour tout entier naturel n : ? ? ? ? ? un+1 = 1 3 (un +2vn) vn+1 = 1 4 (un +3vn) 1. On appelle w la suite définie pour tout entier naturel n par : wn = vn ?un . a. Montrer que w est une suite géométrique à termes positifs, dont on pré- cisera la raison. b. Déterminer la limite de la suite w . 2. a. Montrer que la suite u est croissante. b. Montrer que la suite v est décroissante. c. En déduire que, pour tout entier naturel n, u0 6 un 6 vn 6 v0. 3. On admet que les suites u et v convergent. Montrer qu'elles ont alors même limite que l'on appellera l . 4. On appelle t la suite définie pour tout entier natureI n par : tn = 3un +8vn . a. Montrer que t est une suite constante. Déterminer cette constante. b. Déterminer alors la valeur de l . EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal ( O, ?? u , ?? v ) .

• courbe représentative de la fonc- tion exponentielle


• positions respectives des courbes cn


• points d'affixes respectives


• courbe représentative de f0


• graphique précédent


• courbe cn


• points réservé aux candidats


• point d'affixe za


• tangente au point d'abscisse

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2002
• Nombre de lectures: 62
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Centres étrangers1 juin 2002\ Calculatrice autorisée

E X E R C IC E points1 4 Commun à tous les candidats On définit deux suitesuetvparu 0 =1,v 0 =12 et pour tout entier natureln:  1   u n+1 = ( u n +2v n ) 3  1  v n+1 = ( u n +3v n ) 4 1.On appellewla suite définie pour tout entier naturelnpar :w n =v n −u n . a.Montrer quewest une suite géométrique à termes positifs, dont on pré cisera la raison. b.Déterminer la limite de la suitew. 2. a.Montrer que la suiteuest croissante. b.Montrer que la suitevest décroissante. c.En déduire que, pour tout entier natureln,u 0 6 u n 6 v n 6 v 0 . 3.On admet que les suitesuetvconvergent. Montrer qu’elles ont alors même limite que l’on appelleral. 4.On appelletla suite définie pour tout entier natureInpar :t n =3u n +8v n . a.Montrer quetest une suite constante. Déterminer cette constante. b.Déterminer alors la valeur del.

E X E R C IC E points2 5 Réservé aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexePO,est rapporté au repère orthonormalu,v. i Soit A le point d’affixez A =. 2 ′ Test l’application qui, à tout pointM, d’affixez, distinct de A, associe le pointM ′ d’affixeztelle que ′ ′ 2z z=i(z+z). 1.On appelle I et J les points d’affixes respectives :z I =1,z J =i . Soit K le milieu du segment [IJ]. a.Déterminer l’affixez K de K. b.Déterminer les affixes des images des points I, J, K par l’applicationT. c.En déduire queTne conserve pas les milieux. 2.Déterminer les points invariants parT. µ ¶µ ¶ i i1 ′ ′ 3.Montrer queM=T(M) si et seulement siz−z− =−. 2 24 4.En déduire l’image parTdu cercleCde centre A et de rayon 1.

Exercice 25 points Réservé aux candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité Soitpe de couplesun nombre premier donné. On se propose d’étudier l’existenc (x;y) d’entiers naturels strictement positifs vérifiant l’équation : 2 22 E:x+y=p

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

1.On posep=2. Montrer que l’équationEest sans solution. On suppose désormaisp6=2 et que le couple (x;y) est solution de l’équation E. 2.Le but de cette question est de prouver quexetysont premiers entre eux. a.Montrer quexetysont de parités différentes. b.Montrer quexetyne sont pas divisibles parp. c.En déduire quexetysont premiers entre eux. 3.On suppose maintenant quepest une somme de deux carrés non nuls, c’est 2 2 àdire :p=u+voùuetvsont deux entiers naturels strictement positifs. ¡ ¢ ¯ ¯ 2 2 a.Vérifier qu’alors le coupleu−v; 2u vest solution de l’équationE. b.Donner une solution de l’équationE, lorsquep=5 puis lorsquep=13. 4.onOn se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l’équatiEest im possible lorsquepn’est pas somme de deux carrés. a.p=3 etp=7 sontils somme de deux carrés ? 2 22 2 b.Démontrer que les équationsx+y=9 etx+y=49 n’admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.

P R O B L È M E 11 points Pour chaque entier natureln, on définit, sur l’intervalle ]0 ;+∞[ la fonction notée f n par : x e−1 f n (x)= +nlnx, x où ln désigne la fonction logarithme népérien. Partie A : Étude du cas particuliern=0 x e−1 f 0 est donc la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parf 0 (x)=. x 1.Construire dans un repère orthonormal, la courbe représentative de la fonc tion exponentielle, puis tracer sa tangente au point d’abscisse 0. 2.Résolution graphique d’une inéquation : a.Justifier graphiquement l’inégalité suivante : u pour tout réelu, e > u+1.

b.En déduire que pour tout réelx,

−x x e+x−1 > 0, puis que, 1+(x−1)e > 0.

3.Limites : a.Déterminer la limite def 0 en+∞. b.Déterminer la limite def 0 en 0. 4.Sens de variations : a.Montrer que, pour tout réelxappartenantà l’intervalle ]0 ;+∞[ on a x e (x−1)+1 ′ f(x)=. 0 2 x b.En déduire le sens de variation def 0 . 5.On appelleC 0 la courbe représentative def 0 dans un repère orthonormal ³ ´ −→−→ O,ı,pour lequel l’unité graphique est 2 cm. TracerC 0 dans ce repère et placer le point A de coordonnées (0 ; 1).

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

Partie B : Étude de la famille de fonctionsf n pourn > 1 ³ ´ −→−→ On appelleC n la courbe représentative de la fonctionf n O,dans le repèreı,pré cédent. 1.Déterminer le sens de variation def n sur l’intervalle ]0 ;+∞[. 2.Déterminer les limites def n en+∞et en 0. En déduire queC n possède une asymptote qu’on précisera. 3.Étudier les positions respectives des courbesC n+1 etC n . 4.Montrer que toutes les courbesC n passent par un même point B dont on pré cisera les coordonnées. 5. a.Montrer qu’il existe un unique réelα 1 , appartenant à l’intervalle [0,2; 0,9] tel quef 1 (α 1 )=0. b.Montrer quef n (α 1 )<0 pour tout entier natureln>1. c.Pour tout entier natureln>1 , montrer qu’il existe un unique réelα n appartenant à l’intervalle [α 1 ; 1] tel quef n (α n )=0. 6. a.En utilisant lapartie Amontrer que pour tout réelxappartenant à l’in tervalle ]0 ; 1], x e−1 6 e−1. x 1−e b.En déduire que, pour tout entier naturel non nuln, ln(α n ) 6 , puis n 1−e n que,α n > e . c.Déterminer la limite de la suite (α n ). 7.Construire sur le graphique précédent, les courbesC 1 ,C 2 .

Partie C : Étude d’une suite d’intégrales Pour tout entier natureln, on appelle I n l’intégrale Z 3 2 I n =f n (x) dx. 1 1.Donner une interprétation graphique de cette intégrale. 2.Étudier le sens de variation de la suite (I n ). 3.Démontrer que l’aire comprise entre les courbesC n+1 , etC n et les droites 3 d’équationx=1 etx=est constante. 2

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