Baccalauréat S La Réunion juillet

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S La Réunion juillet 2000 \ Exercice 1 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) (unité : 2 cm). On dit qu'un triangle équilatéral ABC est direct si et seulement si (???AB , ???AC ) = pi 3 [2pi]. On pose j = e 2i pi3 . 1. a. Vérifier que 1 , j et j2 sont solutions de l'équation z3 = 1. b. Calculer (1? j)(1+ j+ j2) ; en déduire que 1+ j+ j2 = 0. c. Vérifier que ei pi3 + j2 = 0. 2. Dans le plan complexe, on considère trois points A, B, C , deux à deux dis- tincts, d'affixes respectives a, b, c. a. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si c?a b?a = ei pi3 . b. En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le tri- angle ABC est équilatéral direct si et seulement si : a+bj+cj2 = 0. 3. À tout nombre complexe z 6= 1 , on associe les points R, M et M ? d'affixes respectives 1, z et z. a. Pour quelles valeurs de z les points M et M ? sont-ils distincts ? b.

• équilatéral direct


• tableau unique


• axe des ordonnées


• e?? cos


• encadrement de ? d'amplitude


• feuille de papiermillimétré dans le sens de la longueur avec l'axe des ordonnées

Sujets

• Coordonnées cartésiennes

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juillet 2000
• Nombre de lectures: 67
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S La Réunion juillet 2000\

Exercice 15 points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v(unité : 2 cm). On dit qu’un triangle équilatéral ABC est direct si et seulement si ³ ´ −→−→ π π 2i AB ,AC=[2π]. On pose j=e . 3 3 2 3 1. a.sont solutions de l’équationVérifier que 1 , j et jz=1. 2 2 b.Calculer (1−j)(1+j+j ); en déduire que 1+j+j=0. π i 2 c.Vérifier que e+j=0. 3 2.Dans le plan complexe, on considère trois pointsA,B,C, deux à deux dis tincts, d’affixes respectivesa,b,c. a.Démontrer que le triangleABCest équilatéral direct si et seulement si c−a π i =e . 3 b−a b.En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le tri 2 angleABCest équilatéral direct si et seulement si :a+bj+cj=0. ′ 3.À tout nombre complexez6=1 , on associe les pointsR,MetMd’affixes respectives 1,zetz. ′ a.Pour quelles valeurs dezles pointsMetMsontils distincts ? b.En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l’en ′ semble (Δ) des pointsMd’affixeztels que le triangleR M Msoit équila téral direct est une droite privée d’un point.

Exercice 2 (obligatoire)5 points ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,. On désigne parΓla courbe paramétrée, ensemble des pointsM(θ) dont les coordonnées (x(θ),y(θ) sont défi nies par ½ −θ x(θ)=20e cosθ oùθ∈[0 ;+∞[ −θ y(θ)=20e sinθ 1.SoientMetM 1 , les points deΓcorrespondant respectivement aux paramètres θetθ+π. a.Démontrer qu’il existe un réelk, indépendant deθ, que l’on détermi nera, tel que −−−→−−→ OM 1 =kOM. b.En déduire une transformation géométrique par laquelle, pour tout réel θpositif,M 1 est l’image deM. 2.On appelleΓ 1 la partie deΓcorrespondant àθélément de l’intervalle [0 ;π]. a.Montrer que : ³ ´³ ´ p p π π ′ −θ′ −θ x(θ)= −20 2ecosθ−ety(θ)= −20 2esinθ−. 4 4 b.Étudier le sens de variations des fonctionsxetysur [0 ;πrassembler] ; les résultats dans un tableau unique et indiquer les points deΓ, en les quels la tangente est parallèle à l’un des axes de coordonnées. µ ¶ ³ ´ π3π 3.TracerΓ 1 M ,M(, ainsi que ses tangentes aux points M(0),M ,π). 4 4 (unité graphique : 1 cm ; on prendra la feuille de papier millimétré dans le sens de la longueur avec l’axe des ordonnées à 4 cm du bord gauche).

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

Exercice 2 (spécialité)5 points Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 5, on considère les nombres

3 22 a=n−n−12netb=2n−7n−4. 1.Montrer, après factorisation, queaetbsont des entiers naturels divisibles par n−4. 2.On poseα=2n+1 etβ=n+3. On notedle PGCD deαetβ. a.Établir une relation entreαetβindépendante den. b.Démontrer quedest un diviseur de 5. c.Démontrer que les nombresαetβsont multiples de 5 si et seulement si n−2 est multiple de 5. 3.Montrer que 2n+1 etnsont premiers entre eux. 4. a.Déterminer, suivant les valeurs denet en fonction den, le PGCD deaet b. b.Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliersn=11 etn=12.

Problème 10points Le but du problème est l’étude simultanée de deux fonctionsfetg(partie A), uti lisées ensuite pour déterminer une valeur approchée d’un certain nombre réel noté C. ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,; (unité graphique : 2 cm).

Partie A : Soient les fonctionsfetgdéfinies sur l’ensemble des nombres réels par :

x x f(x)=x−e etg(x)=(1−x)e . ′ On appelle (C) et (C) leurs courbes représentatives respectives 1. a.Déterminer les limites des fonctionsfetgen+∞et en−∞. b.Montrer que la droite (Δ) d’équationy=xest asymptote à la courbe (C). c.Étudier le sens de variations de chacune des fonctionsfetg, sur l’en semble des nombres réels. 2.Pour tout réelx, on poseh(x)=f(x)−g(x). ′ a.Montrer que, pour tout réelx,h(x)=1−g(x). b.En déduire le sens de variations de la fonctionhsur l’ensemble des nombres réels. ′ c.Démontrer que les courbe (C) et (C) admettent un unique point d’in tersection, dont l’abscisse notéeα, appartient à l’intervalle [1 ; 2]. −1 Donner un encadrement deα.d’amplitude 10 ′ d.Étudier, suivant les valeurs dex, la position relative de (C) et (C). ′ 3.Tracer la droite (Δ) et les courbes (C) et (C). Z x 4.Pour tout réelx, on poseθ(x)=h(t) dt. 0 a.À l’aide d’une intégration par parties, calculerθ(x). 2 b.En déduire, sous la forme d’une expression rationnelle enα, l’aire en cm ′ du domaine limité sur le graphique par les courbes (C) et (C), l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=α.

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

Partie B Pour tout entier naturelnnon nul, on pose 1 1 S n =1−+ +∙ ∙ ∙ +lnn. 2n 1.À l’aide d’une calculatrice, déterminer un encadrement deS 20 d’amplitude −3 10 . 2. a.En utilisant le tableau de variations de la fonctiongdéfinie dans lapartie A, démontrer que, pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ; 1[, 1 x e 6 . 1−x k 1 b.En déduire que, pour tout nombre entierk > 2, e 6 , puis que, k k−1 µ ¶ 1k pour tout nombre entierk > 2, 6 ln . k k−1 c.Pour tout entier natureln > 2 , calculerS n −S n−1 . En déduire que la suite ( S n ) est décroissante. 3.Pour tout entiern>20, on poseu n =S 20 −S n . a.Vérifier que pour tout entiern>20,u n > 0. b.En utilisant le tableau de variations de la fonctionfdéfinie dans lapartie A, démontrer que, pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ; 1], 1+x 6 x e . k+1 1 c.En déduire que pour tout nombre entierk > 1, 6 puis que,e , k k µ ¶ k+1 1 pour tout nombre entierk > 1, ln 6 .  k k d.Vérifier que, pour tout entier natureln>20, µ ¶ ³ ´ n1 11 u n =ln+ ∙ ∙ ∙ +− +. 20 2122n En raisonnant par récurrence, démontrer que pour tout entier naturel n>20, µ ¶ n+1 11 1 ln 6 ∙ ∙ ∙ ++ +. 21 2122n e.En déduire que, pour tout entier natureln>20, µ ¶µ ¶ 21n+1 u n =ln−ln . 20n puis que, pour tout entier natureln>20,u n 6 0, 049. 4.On admet que la suite (S n ) est convergente de limite notée C. a.Justifier l’encadrementS 20 −0, 049 6 C 6 S 20 . b.Déterminer un encadrement de C d’amplitude 0,05.

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