Baccalauréat S La Réunion juin 2007

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S La Réunion juin 2007 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Soient a et b deux nombres réels strictement positifs tels que a < b. On désigne par A et par B les points d'abscisses respectives a et b de la courbe ? représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère orthononnal ( O, ??ı , ??? ) . Les points Q et R sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur l'axe des ordonnées. 1. a. Donner l'équation réduite de la tangente (T) au point A à la courbe ?. b. Déterminer l'ordonnée du point d'intersection P de (T) avec l'axe des ordonnées. Calculer la longueur PQ. En déduire une construction simple de (T) ; la réaliser sur la figure en annexe). 2. Restitution organisée de connaissances On suppose connue la propriété : « Pour tout couple (x ; y) de nombres réels strictement positifs, on a ln(xy)= ln(x)+ ln(y). » En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a ln(pm)= 12 ln(m). 3. Utiliser le résultat de la question 2 pour placer sur l'axe des abscisses le point G d'abscissepab.

• points d'affixes respectives


• façon analogue


• figure jointe en annexe


• restitution organisée de connaissances


• traces de construction apparentes


• points commun


• repère orthonormal direct


• plan complexe

Sujets

• Plan d'Argand

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSLaRéunionjuin2007\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Soienta etb deuxnombresréelsstrictementpositifstelsquea?b.
On désigne par A et par B les points d’abscisses respectives a et b de la courbe
Γ représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère orthononnal? ?!? !?
O, ı , | .
LespointsQetRsontlesprojetésorthogonauxrespectifsdespointsAetBsurl’axe
desordonnées.
1. a. Donnerl’équationréduitedelatangente(T)aupointAàlacourbeΓ.
b. Déterminer l’ordonnée du point d’intersection P de (T) avec l’axe des
ordonnées.
Calculer la longueur PQ. En déduire une construction simple de(T); la
réalisersurlafigureenannexe).
2. Restitutionorganiséedeconnaissances
Onsupposeconnuelapropriété:
«Pourtoutcouple(x ; y)denombresréelsstrictementpositifs,ona
ln(xy)?ln(x)?ln(y).»
Endéduireque,pourtoutnombreréelm strictementpositif,ona
? ?p 1
ln m ? ln(m).
2
3. Utiliserlerésultatdelaquestion2pourplacersurl’axedesabscisseslepointGp
d’abscisse ab.Expliquerlaconstructionetlaréalisersurlafiguredel’annexe
1(onlaisseralestraitsdeconstructionapparents).
EXERCICE 2 4points
Communàtouslescandidats
Soita unnombreréeltelque?1?a?0.
Onconsidèrelasuiteu définieparu ?a,etpourtoutentiernatureln,0
2u ?u ?u .n?1 nn
1. Étudierlamonotoniedelasuiteu.
22. a. Soith lafonctiondéfiniesurRparh(x)?x ?x.Étudierlesensdevaria-
tionsdelafonctionh.
Endéduirequepourtoutx appartenantàl’intervalle]?1; 0[,lenombre
h(x)appartientaussiàl’intervalle]?1; 0[.
b. Démontrerquepourtoutentiernatureln ona:?1?u ?0.n
3. Étudierlaconvergencedelasuiteu.Déterminer,sielleexiste,salimite.
EXERCICE 3 6points
Communàtouslescandidats
8
xxe<
f(x) ? six6?0
xOnconsidèrelafonction f définiesurRpar: e ?1:
f(0) ? 1.
? ?!? !?
OnnoteC lacourbereprésentativede f dansunrepèreorthonormal O, ı , | .BaccalauréatS A.P.M.E.P.
1. a. Déterminerlalimitede f en?1.
? ?
1
b. Établirque,pourtoutnombreréelx nonnul,ona f(x)?x 1? .
xe ?1
Endéduirelalimitede f en?1.
x
2. Donner,sansdémontrer,lalimitesuivante: lim etdémontrerque f est
xx!0e ?1
continueen0.
x3. a. Démontrerque,pourtoutnombreréelx,ona:e >x?1,etquel’égalité
n’alieuquepourx?0.
0b. Calculer la dérivée f de la fonction f et déterminer la fonction g telle
xe g(x)0que,pourtoutnombreréelx nonnul, f (x)? .
2xe ?1( )
c. Donnerletableaudesvariationsde f.
04. Soient x un nombre réel non nul et les points M(x ; f(x)) et M (?x ; f(?x))
delacourbeC.
x
a. Établirque f(?x)? ,puisdéterminerlecoefficientdirecteurdela
xe ?1
0droite(MM ).
b. On admet que la fonction f est dérivable en 0. Que suggère alors le ré-
sultatprécédent?
EXERCICE 4 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
? ?!? !?
Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormaldirect O, u , v .
p p
A,B,Cdésignentlespointsd’affixesrespectives a??2 3, b? 3?3ietc?2i.
1. a. Écrireb sousformeexponentielle.
b. LespointsAetCsontreprésentéssurlafigurejointeenannexe2.
Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les
tracesdeconstructionapparentes).
2. OndésigneparElebarycentredusystème{(A;1);(C;3)}etparFlebarycentre
dusystème{(A;2);(B;1)}.
p
3 3
a. Établirquel’affixee dupointEestégaleà? ? i.
2 2
b. Déterminerl’affixe f dupointF.
e?c
3. a. Démontrerquelequotient peuts’écrirekioùk estunnombreréel
e?b
àdéterminer.
Endéduireque,dansletriangleABC,lepointEestlepieddelahauteur
issuedeB.PlacerlepointEsurledessin.
b. Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer F sur
ledessin.
4. OndésigneparHlebarycentredusystème{(A;2);(B;1);(C;6)}.Démontrer
quelepointHestlepointd’intersectiondesdroites(BE)et(CF).
Qu’endéduit-onpourlepointH?
EXERCICE 4 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
? ?!? !?
Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormaldirect O, u , v .
p p
A,B,C,désignentlespointsd’affixesrespectives a??2 3, b? 3?3ietc?2i.
1. a. Écrireb sousformeexponentielle.
LaRéunion 2 juin2007BaccalauréatS A.P.M.E.P.
b. LespointsAetCsontreprésentéssurlafigurejointeenannexe2.
Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les
tracesdeconstructionapparentes).
? ?!? ?!
c. Déterminerunemesureenradiansdel’angle u ; AB etdel’angle
? ?!? ?!
u ; AC .
p
p3 3
2. LespointsEetFontpouraffixesrespectivese?? ? iet f ?? 3?i.
2 2
a. Démontrer que les points A, E et C, d’une part, et les points A, F et B,
d’autrepart,sontalignés,
e?c
b. Démontrerquelequotient peuts’écrirekioùk estunnombreréel
e?b
àdéterminer.
Interprétergéométriquementcerésultat.
f ?c
0 0On admet que, de façon analogue, peut s’écrire k i où k est un
f ?b
nombreréelnonnulquel’onnedemandepasdedéterminer.
c. PlacerlespointsEetFsurlafigure.
3. OndésigneparS lasimilitudeindirectedontl’écriturecomplexeest
p1
z7?! z? 3.
2
DéterminerlesimagesparS destroispointsA,BetC.
4. SoitHlepointd’intersection desdroites(BE)et(CF).PlacerlepointS(H)sur
lafigure.
LaRéunion 3 juin2007BaccalauréatS A.P.M.E.P.
ANNEXE1
(Àrendreaveclacopie)
Exercice1
y?lnx
B
R
A
Q
!?
|
x
!? aO bı
LaRéunion 4 juin2007BaccalauréatS A.P.M.E.P.
ANNEXE2
(Àrendreaveclacopie)
Exercice4
C
!?
v
!?OA u
LaRéunion 5 juin2007
bb