Baccalauréat S Liban juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Liban juin 2007 \ EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Soient f et g les fonctions définies sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x)= lnx et g (x)= (lnx)2. On note C et C ? les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère orthogonal. Les courbes C et C ? sont données en annexe. 1. a. Étudier le signe de (lnx)(1? lnx) sur ]0 ; +∞[. b. En déduire la position relative des deux courbes C et C ? sur ]0 ; +∞[. 2. Pour x appartenant à ]0 ; +∞[, M est le point de C d'abscisse x et N est le point de C ? de même abscisse. a. Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h(x)= f (x)? g (x). Étudier les variations de la fonction h sur ]0 ; +∞[. b. En déduire que sur l'intervalle [1 ; e], la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour x =pe. c. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l'équation (lnx)2? lnx = 1.

• espacemuni du repère orthonormal


• a?


• barycentre des points


• figure donnée en annexe


• affixe b? du point b?


• boules noires indiscernables


• points commun


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSLibanjuin2007\
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
Soient f etg lesfonctionsdéfiniessurl’intervalle ]0;?1[par:
2f(x)?lnx et g(x)?(lnx) .
0On noteC etC les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère
0orthogonal.LescourbesC etC sontdonnéesenannexe.
1. a. Étudierlesignede(lnx)(1?lnx)sur]0;?1[.
0b. EndéduirelapositionrelativedesdeuxcourbesC etC sur]0;?1[.
2. Pour x appartenant à ]0 ; ?1[, M est le point deC d’abscisse x et N est le
0pointdeC demêmeabscisse.
a. Soith lafonctiondéfiniesur]0;?1[parh(x)? f(x)?g(x).
Étudierlesvariationsdelafonctionh sur]0;?1[.
b. En déduire que sur l’intervalle [1; e], la valeur maximale de la distance
p
MN estobtenuepour x? e.
2c. Résoudredans]0;?1[l’équation(lnx) ?lnx?1.
d. En déduire que, sur ]0; 1[[ ]e ; ?1[, il existe deux réels a et b (a?b)
pourlesquelsladistance MN estégaleà1.
Ze
3. a. Àl’aided’uneintégrationparparties,calculer lnxdx.
1
? ?
2b. VérifierquelafonctionG définiesur]0;?1[parG(x)?x (lnx) ?2lnx?2
estuneprimitivedelafonction g sur]0;?1[.
c. On considère la partie du plan délimitée par les courbesC, C et les
droitesd’équations x?1etx?e.
Déterminerl’aireA enunitésd’airedecettepartieduplan.
EXERCICE 2 5points
Candidatsnefaisantpasl’optionmathématiques
Pourchacunedes5propositionssuivantes,indiquersielleestvraieoufausseetdon-
nerunedémonstrationdelaréponsechoisie.
Uneréponsenondémontréenerapporteaucunpoint.
? ?!? !? !?
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O, ı , | , k .
Onconsidèreladroite(d)dontunsystèmed’équationsparamétriquesest:8
t> x ? 2?>< 2
y ? 1 (t2R)
> 3t>: z ? 5?
2
OnnoteAlepointdecoordonnées(2;?1; 1),Blepointdecoordonnées(4;?2; 2)
etClepointde(d)d’abscisse1.
1. Proposition1
? ?!?
«Ladroite(d)estparallèleàl’axe O; | ».
2. Proposition2
«Le plan P d’équation x?3z?5?0est le plan passant parAet orthogonal à
(d)».BaccalauréatS A.P.M.E.P.
3. Proposition3
?
?«Lamesuredel’anglegéométriqueBACest radians».
3
4. SoitGlebarycentredespointspondérés(A;?1),(B;1)et(C;1).
Proposition4
«Lessegments[AG]et[BC]ontlemêmemilieu».
5. Proposition5
«LasphèredecentreCetpassantparBcoupeleplanP d’équationx?3z?5?
0».
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantchoisil’optionmathématiques
Pourchacunedes5propositionssuivantes,indiquersielleestvraieoufausseetdon-
nerunedémonstrationdelaréponsechoisie.Uneréponsenondémontréenerapporte
aucunpoint.
? ?!? !?
1. Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .
On considère la transformation du plan qui à tout point d’affixe z associe le
0 0pointd’affixez définiepar: z ?2iz?1.
Proposition1:«CettetransformationestlasimilitudedirectedecentreAd’af-
1 2 ?
fixe ? i,d’angle etderapport2».
5 5 2
? ?!? !? !?
2. Dansl’espacemunidurepèreorthonormal O, ı , | , k ,onnoteS lasurface
2 2d’équation z?x ?2x?y ?1.
Proposition2:«LasectiondeS aveclepland’équation z?5estuncerclede
centreAdecoordonnées(?1; 0; 5)etderayon5».
7503. Proposition3:«5 ?1estunmultiple de7».
4. Proposition4:«Siunentiernatureln estcongruà1modulo7alorslePGCD
de3n?4etde4n?3estégalà7».
5. Soient a etb deuxentiersnaturels.
Proposition5:«S’ilexistedeuxentiersrelatifsu etv telsqueau?bv?2alors
lePGCDdea etb estégalà2».
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
OnconsidèredeuxurnesU etU .1 2
L’urneU contient17boulesblancheset3boulesnoiresindiscernablesautoucher.1
L’urneU contient1bouleblancheet19boulesnoiresindiscernablesautoucher.2
Onréalisedestiragesenprocédantdelamanièresuivante:
Étape1:OntireauhasardunebouledansU ,onnotesacouleuretonlaremetdans1
U .1
Étapen (n>2):
? Silabouletiréeàl’étape (n?1)estblanche,ontireauhasardunebouledans
U ,onnotesacouleuretonlaremetdansU .1 1
? Silabouletiréeàl’étape(n?1)estnoire,ontireauhasardunebouledansU ,2
onnotesacouleuretonlaremetdansU .2
OnnoteAl’évènement «letiragealieudansl’urneU àl’étapen»etp saprobabi-1 n
lité.Onadoncp ?1.1
1. Calculer p .2
Liban 2 juin2007BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. Montrerquepourtoutn entiernaturelnonnul, p ?0,8p ?0,05.n?1 n
Onpourras’aiderd’unarbrepondéré.
3. Calculer p .3
4. a. Démontrerparrécurrencequepourtoutentiern entiernaturelnonnul,
p ?0,25.n
? ?
b. Démontrerquelasuite p estdécroissante.n
? ?
c. Endéduirequelasuite p estconvergenteversunréelnoté`.n
d. Justifierque`vérifiel’équation :`?0,8`?0,05. Endéduirelavaleurde
`.
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
? ?!? !?
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormaldirect O, u , v .
Onconsidèrel’application f quiàtoutpoint M d’affixe z nonnulle associelepoint
0 0M ? f(M)d’affixez telque:
z0z ? (2?jzj).
jzj
Le cercleC , de centre O et de rayon 1, est représenté sur la figure, donnée en an-1
nexe,quel’oncompléteraaufuretàmesuredesquestions.
i?Pourz complexenonnul,onnote z?re , r étantlemoduledez et?unargument
dez.
0 i?1. Montrerque z ?(2?r)e .
0 02. Déterminerl’affixe a dupointA ,imagepar f dupointAd’affixea?3.
p
3. SoitBlepointd’affixeb?? 3?i.
a. Écrireb sousformeexponentielle.
0 0b. Déterminerl’affixeb dupointB ,imagedupointBpar f.
0 04. PlacerA,B,A etB surlafigure..
5. a. Déterminer l’ensemble E des points M du plan privé du point O dont
l’imagepar f estO.
b. ReprésenterE surlafigure.
6. Montrer que le cercleC est l’ensemble des points M du plan distincts de O1
telsque f(M)?M.
7. Pourcettequestion, M estunpointduplan,distinctdeO,n’appartenantpas
aucercleC .1
0 0Onappelle Ilemilieudusegment[MM ]oùM estl’imagedeM par f.
a. MontrerqueIappartientàC .1
b. MontrerqueIappartientàlademi-droite[OM).
c. Surlafiguredonnéeenannexeestplacéunpointnommé M .1
0Construirelepoint M ,imagepar f dupoint M .11
Liban 3 juin2007BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Annexe
Annexeàrendreaveclacopie
EXERCICE 1
~j
0 ~i
EXERCICE 4
M1
~v
O u~
C1
Liban 4 juin2007
b