Baccalauréat S Métropole juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009 \ EXERCICE 1 4 points 1. Si la solution est a., les abscisses de A et de B donneraient la même valeur de t = 0. Si la solution est b., l'ordonnée de A donnerait t =?3 et la cote serait fausse. La solution est c.. t =? 1 2 donne les coordonnées de A et t = 0 donne les coordonnées de B. M : cette question est piégeuse pour celui ou celle qui cherche l'équation de la droite (AB) et qui ne trouve aucun des trois systèmes ! 2. La droite (SS?) est perpendiculaire au plan et coupe ce plan en H projeté orthogonal de S sur ce plan. Le point H appartient à la droite SS? et au plan, donc ses coordonnées vérifient : ? ? ? ? ? ? ? x = 1+1t y = 1+2t z = 1+2t x +2y +2z ?3 = 0 ?? ? ? ? ? ? ? ? x = 1+1t y = 1+2t z = 1+2t 2+9t = 0 ? ? ? ? ? ? ? x = 79 y = 59 z = 59 t = ? 29 Le point H est le milieu de SS? ; on en déduit les coordonnées de S? ( 5 9 ; 1 9 ; 1 9 ) .

• ga ?


• mt nt


• triangle oij


• ??? oa


• axe des abscisses


• ?z ?


• ??


• up

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 13
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSMétropole23juin2009\
EXERCICE 1 4points
1. Silasolutionesta.,lesabscissesdeAetdeBdonneraientlamêmevaleurdet=0.
Silasolutionestb.,l’ordonnéedeAdonneraitt=−3etlacoteseraitfausse.
1
Lasolutionestc..t=− donnelescoordonnéesdeAett=0donnelescoordonnéesdeB.
2
M:cettequestionestpiégeusepourceluioucellequicherchel’équationdeladroite(AB)etquinetrouveaucun
destroissystèmes!
′2. Ladroite(SS )estperpendiculaireauplanetcoupeceplanenHprojetéorthogonaldeSsurceplan.LepointH
′appartientàladroiteSS etauplan,doncsescoordonnéesvérifient:
 
x = 1+1t x = 1+1t  
y = 1+2t y = 1+2t
⇐⇒
 z = 1+2t  z = 1+2t 
x+2y+2z−3 = 0 2+9t = 0
 7x = 9 5y = 9
5 z = 9 2t = −
9
? ?
5 1 1
′ ′LepointHestlemilieudeSS ;onendéduitlescoordonnéesdeS ; ; .
9 9 9
Labonneréponseestb.
−→ −→ −→ −→ −→
3. On aAB(0; −1; 1) AC(8; −3; −1) BC(8; −2; 2; ); doncAB?BC =0 ⇐⇒ABC est un triangle rectanglen
enB.
Réponsec.
−−→ −−→ −−→ →− −−→
4. Soit Gla barycentredusystème pondéré{(A, 1), (B,−1), (C, 1)}. Pardéfinition GA −GB+GC = 0 ⇐⇒ OG =
−−→ −−→ −−→
OA−OB+OC ;onendéduitlescoordonnéesdeG(9; 0;−3).
EnfaisantintervenircebarycentreGdanschaquevecteur,ona:
? ? ? ?−−→ −−→ −−→ −−→? ? ? ?
?MA −MB +MC?=9 ⇐⇒ ?MG?=9 ⇐⇒ GM=9.
L’ensemble despointsestdoncunesphèredecentreGetderayon9.
IlresteàvéeifierqueSestl’undespointscherchés.
? ?2−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→? ?
SA(1; 1;−2), SB(0; 0; 1), SC(8;−2;−3),d’oùSA−SB+SC(8;−1;−4).Comme?SA−SB+SC? =64+16+1=
281=9 .
Lanormedecevecteurestbienégaleà9.
Labonneréponseestb.
M:Questionbienlongue!
EXERCICE 2 5points
i(−i+i)′ ′1. Onaa = =0.DoncA =O.
i−1+i
2i 1 1+i 1 1
L’affixedel’imagedeOest = = = + i.
−1+i 1−i 2 2 2Δ
E
→−
v
→−O
u
F
2.
A B
?p ?i(z+i) 22 23. z= =0 ⇐⇒ z(z−1+i)=i(z+i) ⇐⇒ z −z+iz=iz−1 ⇐⇒ z −z+1.CommeΔ=1−4=−3= i 3 ,
z−1+i
cetteéquationadeuxsolutionscomplexes:
p
1+i 3
z =z = et1 E
2p
1−i 3
z =z = .2 F
2
1 32Ona|z | = + =1 ⇐⇒ |z |=1=|z |.E E F
4 4
CesdeuxpointsappartiennentdoncaucercleC.
1
Commeilsontpourpartieréelle ,cesdeuxpointssontlesdeuxpointscommunsàΔetàC.
2
4. .Soit ? ?
? ? ? ?i(z+i) i(z+i) |i(z+i)| AM′ ′ ′? ? ? ?a. z = ⇒ z = = = =OM? ?z−1+i z−1+i |z−1+i| BM
b. Applicationdurésultatprécédent:
? ?
′ ′? ?M∈Δ ⇐⇒ MA=MBetdonc z =1 ⇐⇒ M ∈C.
Uneéquationdeladroite(AB)est:M(x ; y)∈(AB) ⇐⇒ y=−1.
DoncunpointM deladroite(AB)auneaffixez=x−i.
i(x−i+i) xi′ ′D’oùz = = .Doncz estunimaginairepur.
x−i−1+i x−1
′LespointsM appartiennentdoncàl’axedesordonnées.
EXERCICE 3 6points
−xf(x)=1+xe .
PartieA
x −x15. a. Onsaitque lim =xe =0,ona lim f(x)=1.
xx→+∞ x→+∞e
Ladroite(Δ)estasymptoteàC auvoisinagedeplusl’infini.
b. Lafonction f estunesommedefonctionsdérivablessur[0;+
infty[,elleestdoncdérivableet:
′ −x −x −x −xf (x)=e −xe =e (1−x)quiestdusignede1−x,puisquee >0quelquesoitx∈R.
La dérivée est positive, donc la fonction croissante sur [0 ; 1] et la dérivée est négative, donc la fonction
décroissantesur[1;+∞[.
Métropole 2 éventéle19juin2009
bbbb2. a. Ona f(0)=1etlalimiteenplusl’infiniestégaleà1:donc f(x)>1>0sur[0;+
infty[.
L’intégrale estdoncégaleàl’aire(enunitésd’aire)delasurfacelimité parlacourbeC,l’axe desabscisses
etlesverticalesd’équationsrespectivesx=0etx=t.
Z Z Z Zt t t t
−x −xb. f(x)dx= 1dt+ xe dx=t+ xe dx.
0 0 0 0
Cettedernièreintégralesecalculeenintégrantparparties:
? ?
′u(x) = x u (x) = 1
et′ −x −xv (x) = e v(x) = −e
Toutescesfonctionssontcontinuesdoncintégrableset
Z Zt t? ? ? ? ? ?t t t−x −x −x −x −x −x −txe dx= −xe + e dx= −xe −e = −e (1+x) =(−1−t)e +1.0 0 0
0 0
Conclusion:
Zt
−t −tf(x)dx=t−te −e +1.
0
PartieB
1×1 1
1. A(0)estégaleàl’aire(enunitésd’aire)dutriangleOIJ.A(0)= = .
2 2
2. A(1)estégaleàl’intégraledelafonction f entre0et1.
? ?
−1 −1 −1 −1DoncA(1)=1−1e −e +1=2−2e =2 1−e .
3. M N Iestuntrianglerectangledebase[N I]telle queN I=1−t etdehauteur[N M ]telle queN M = f(t)=t t t t t t t t
−t1+te .
−t(1−t)(1+te )
A M N I = .( )t t
2
Zt −t 2(1−t)(1+te ) 1 t t t−t −t −t −t −t −t4. OnaA(t)= f(t)dt+A (M N I)=t−te −e +1+ =t−te −e +1+ + e − − et t
2 2 2 2 20
? ?23 t t t−tA(t)= + −e + +1 .
2 2 2 2
? ?23 t t t−t5. Étudionslafonctiont7?→A(t)= + −e + +1
2 2 2 2
Cette fonction est une somme de produits de fonctions dérivables sur [0 ; +∞[ : elle est donc dérivable et sur
cetintervalle: ? ? ? ?2 21 t t 1 1 t t 1′ −t −tA (t)= +e + +1−t− = +e − + .
2 2 2 2 2 2 2 2
? ?
−t 2Cettedérivéeestdusignede1+e t −t+1 .
2Orletrinômet −t+1n’apasderacinesréelles(Δ=1−4<0);ilestdoncpositif.
? ? ? ?
−t −t 2 −t 2Quelquesoit06t61, e >0,donce t −t+1 >0etenfin1+e t −t+1 >1>0.
? ?1 −1Sur[0; 1],ladérivéeestpositiveetlafonctionA(t)estcroissantedeA(0)= àA(1)=2 1−e ≈1,26424.
2
1 −1Donc A(1)=1−e ≈0,632121>A(0).
2
LafonctionA(t)étantcontinuesur[0;1],ilexistebienunréeluniqueαtelque
1
A(α)= ×A(1).
2
Lacalculatricepermetdetrouverα≈0,13993.
EXERCICE 4 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
3 1 9
1. a. u = ×3− ×0= ;2
2 2 2
3 9 1 27 3 21
u = × − ×3= − = ;3
2 2 2 4 2 4
3 21 1 9 63 9 45
u = × − × = − = .4
2 4 2 2 8 4 8
Métropole 3 éventéle19juin2009b. Démonstrationparrécurrence:
1 1
Initialisation:u =3= ×u +3= ×0+3estbienvraie;1 0
2 2
1
Hérédité:supposonsqu’ilexistep∈Ntelqueu = u +3.p+1 p
2
? ?1 1
Oru = u +3 ⇐⇒ u −3= u ⇐⇒ u =2 u −3 (∗)p+1 p p+1 p p p+1
2 2 ? ?
3 1 3 1 1 1 9
Onapardéfinition:u = u − u = u +3 − u = u + ;p+2 p+1 p p p p
2 2 2 2 2 4 2
Enutilisantlarelation(*),onobtient:
? ?1 3 1
u = ×2 u −3 + = u .p+2 p+1 p+1
4 2 2
Larelationestvraieaurangp+1.
1
Onadoncdémontréparrécurrencequepourtoutnombreentiernatureln, u = u +3.n+1 n
2
c. Cf. figure ci dessous La suite semble être croissante, convergente vers l’ordonnée du point commun aux
deuxdroitesc’est-à-dire6.
1 1 1 1
2. a. v =u −6= u +3−6= u −3= (u −6)= v .n+1 n+1 n n n n
2 2 2 2
1
Cetteégalitésiginifiequelasuite(v )estgéométriquederaison etdepremiertermev =u −6=−6.n 0 0
2
? ?n1 6
b. Onsaitquepourv =v × =− .n 0 n2 2
1
c. Comme−1< <1, lim v =0.Deu =v +6onendéduitparlimiteenplusl’infiniquen n n
n→+∞2
lim u =6.n
n→+∞
3. Considéronslasuite(w −u ) .n n n∈N
1 1 1
Onaw −u = w +3− u −3= (w −u ).n+1 n+1 n n n n
2 2 2
1
Donclasuite(w −u ) estgéométriquederaison .n n n∈N
2? ? ? ?n n1 1
Ilenrésultequew −u = w −u =w . (1)( )n n 0 0 0
2 2
Onadonc lim w −u =0.( )n n
n→+∞ ? ?
6 6 1
Onavuquev =u −6=− ⇐⇒ u =6− =6 1− .n n nn n n2 2 2
Enfinenreprenantl’égalité(1):
? ? ? ? ? ? ? ?n n n1 1 1 1
w =u +w =6 1− +w =6+ (w −6).n n 0 0 0n2 2 2 2
w −60
Commeparhypothèsew >6, w −6>0,donclasuite estdécroissanteetdonclasuite w estdécrois-( )0 0 nn2
sante.
Lesdeuxsuites(u )et(w )sont:n n
– l’unecroissante,
– l’autredécroissante
– etleurdifférencetendverszéroauvoisinagedeplusl’infini
Lesdeuxsuites(u )et(w )sontadjacentes(etontdoncmêmelimite).n n
Métropole 4 éventéle19juin2009ANNEXEExercice4(àrendreaveclacopie)
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
O
u0 u u u1 2 3
u4
Métropole 5 éventéle19juin2009
1
y= x+3
2
y=x