Baccalauréat S obligatoire Nouvelle Calédonie mars

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle Calédonie \ mars 2005 EXERCICE 1 4 points Commun tous les candidats L'exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose trois affirma- tions. Pour chacune d'elles, le candidat doit indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la case correspondante. Aucune justification n'est demandée. Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute ré- ponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonification de 0,25 point est ajou- tée chaque fois qu'unequestion est traitée correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 3 affirmations sont exactes). 2 réponses inexactes dans une même question entraînent le retrait de 0,25 point. L'abstention n'est pas prise en compte, c'est- à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à zéro. Dans l'exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . Pour tout n entier naturel non nul, pour tout réel ?, (ei?)n est égal à : ein? Faux Vrai Q1 cos(?n )+ isin(?n ) Faux Vrai cos(n?)+ i sin(n?) Faux Vrai La partie imaginaire du nombre z est égale à : z+ z 2 Faux Vrai Q2 z? z2i Faux Vrai z? z 2 Faux Vrai

• faux vrai


• allure de la courbe


• q2 z? z2i


• milieu de segment


• a1 milieu du segment


• représentation graphique

Sujets

• Représentation graphique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mars 2005
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle Calédonie\ mars 2005

E X E R C IC E 1 Commun tousles candidats

4 points

L’exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose trois affirma tions. Pour chacune d’elles, le candidat doit indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la case correspondante. Aucune justification n’est demandée. Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute ré ponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonification de 0,25 point est ajou tée chaque fois qu’une question est traitée correctement en entier (c’estàdire lorsque les réponses aux 3 affirmations sont exactes). 2 réponses inexactes dans une même question entraînent le retrait de 0,25 point. L’abstention n’est pas prise en compte, c’est àdire ne rapporte ni ne retire aucun point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à zéro. ³ ´ −→−→ Dans l’exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormalO,u,v.

inθ e  Faux  Vrai Pour toutnentier naturel non nul, ¡ ¢ n n n Q1 iθ cos (θ ) +i sin (θ )  Faux  Vrai pour tout réelθ, eest égal à : cos(nθ)+i sin(nθ)  Faux  Vrai z+z  Faux  Vrai 2 La partie imaginaire du nombrez z−z Q2 estégale à :  Faux  Vrai 2i z−z  Faux  Vrai 2 2 y  Faux  Vrai Soitzun complexe tel que 2 z=x+iy(xetyréels). Sizest un Q3−y  Faux  Vrai 2 imaginaire pur, alors|z|est égal à : 2 −z  Faux  Vrai BC = 2 AC  Faux  Vrai A, B et C sont des points d’affixes ³ ´ respectivesa,betctelles que −→−→ π Q4 AB, AC= +2kπ,k∈Z  Faux  Vrai b−a p 2 =alors :i 3, c−a −→−→ 2 CA∙CB=CA  Faux  Vrai

E X E R C IC E 2 Commun tousles candidats

5 points

Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l’impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique. Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d’un mois soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale àp. Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l’amende est de cent euros. Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets soumis à cette étude.

Baccalauréat S (obligatoire)

A. P. M. E. P.

SoitX i rôlé aula variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contième trajet et la valeur 0 sinon. SoitXla variable aléatoire définie parX=X 1 +X 2 +X 3 + ∙ ∙ ∙ +X 40 . 1.Déterminer la loi de probabilité deX. 1 2.Dans cette partie on suppose quep=. 20 a.Calculer l’espérance mathématique deX. b.Calculer les probabilitésP(X=0),P(X=1) etP(X=2). −4 c.près la probabilité pour que Claude soit contrôlé au plusCalculer à 10 deux fois. 3.SoitZ i la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par le fraudeur. Justifier l’égalitéZ=400−100Xpuis calculer l’espérance mathématique deZ 1 pourp=. 5 4.On désire maintenant déterminerpafin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure à 99%. ¡ ¢ 38 2 a.Démontrer queP(X 6 2)=(1−p) 741p+38p+1 . ¡ ¢ 38 2 b.Soitfla fonction définie sur [0 ; 1] par :f(x)=(1−x) 741x+38x+1 . Montrer quef; 1] et qu’il existe unest strictement décroissante sur [0 unique réelx 0 appartenant à l’intervalle [0; 1] tel quef(x 0 )=0, 01.Dé n n+1 terminer l’entier naturelntel que<x 0 <. 100 100 c.En déduire la valeur minimale qu’il faut attribuer àpafin que la probabi lité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure ou égale à 99%. (On exprimerapen fonction dex 0 ).

E X E R C IC E points3 6 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,. 2 Soitfla fonction définie sur ]−1 ;+∞[ par :f(x)=x−2, 2x+2, 2 ln(x+1) 1.Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représenta tive de cette fonction dans la fenêtre−2 6 x 6 4,−5 6 y 6 5. Reproduire sur la copie l’allure de la courbe obtenue grâce à la calculatrice. 2.D’après cette représentation graphique, que pourraiton conjecturer : a.Sur les variations de la fonctionf? b.Sur le nombre de solutions de l’équationf(x)=0 ? 3.On se propose maintenant d’étudier la fonctionf a.Étudier le sens de variation de la fonctionf b.Étudier les limites de la fonctionfen−1 et en+∞, puis dresser le tableau de variations def. c.Déduire de cette étude, en précisant le raisonnement, le nombre de so lutions de l’équationf(x)=0. d.Les résultats aux questions3. a.et3. c.confirmentils les conjectures émises à la question2.? 4.On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonctionfsur l’intervalle [−2], de façon à visualiser les résultats de0, 1; 0, la question3..

NouvelleCalédonie

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mars 2005

Baccalauréat S (obligatoire)

A. P. M. E. P.

a.Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnéeyproposezvous pour mettre en évidence les résultats de la question3. c.dans la fenêtre de votre calcu latrice ? b.À l’aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée par défaut à −2 10 prèsde la plus grande solutionαde l’équationf(x)=0. 5.SoitFla fonction définie sur ]−1 ;+∞[ par

1 3 2 F(x)=x−1, 1x−2, 2x+2, 2(x+1) ln(x+1). 3 a.Démontrer queFest une primitive defsur ]−1 ;+∞[. Z α b.Interpréter graphiquement l’intégralef(x) dx. 0 Z α 3 2 c.Calculerf(x) dxet exprimer le résultat sous la formebα+cα(bet 0 créels).

E X E R C IC E points4 5 Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Partie A Étant donnés deux points distincts A 0 et B 0 d’une droite, on définit les points : A 1 milieu du segment [A 0 B 0 ] et B 1 barycentre de {(A 0 , 1) ; B 0 , 2)}. Puis, pour tout entier natureln,A n+1 milieu du segment [A n B n ] etB n+1 barycentre de {(A n , 1) ;B n , 2)}. 1.Placer les points A 1 , B 1 , A 2 et B 2 pour A 0 B 0 = 12 cm. Quelle conjecture peuton faire sur les pointsA n etB n quandndevient très grand ? ³ ´ −→−→ 1 −−−→ 2.On munit la droite (A 0 B 0 A) du repère 0 ;ıavecı=A 0 B 0 . Soitu n et 12 v n les abscisses respectives des pointsA n etB n . Justifier que pour tout entier naturelnstrictement positif, on a u n +v n u n +2v n u n+1 =etv n+1 =. 2 3 Partie B On considère les suites (u n ) et (v n ) définies paru 0 =0 ;v 0 =12 ; u n +v n u n +2v n u n+1 =etv n+1 =. 2 3 1.Démontrer que la suite (w n ) définie parw n =v n −u n est une suite géomé trique convergente et que tous ses termes sont positifs. 2.Montrer que la suite (u n ) est croissante puis que la suite (v n ) est décroissante. 3.Déduire des deux questions précédentes que les suites (u n ) et (v n ) sont conver gentes et ont la même limite. 4.On considère la suite (t n ) définie part n =2u n +3v n . Montrer qu’elle est constante.

Partie C À partir des résultats obtenus dans lesparties A et B, préciser la position limite des pointsA n etB n quandntend vers plus l’infini.

NouvelleCalédonie

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mars 2005