Baccalauréat S obligatoire Polynésie septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie \ septembre 2010 EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. 1. On considère la suite (tn) définie pour tout entier naturel n par : t0 = 0 et pour tout entier naturel n, tn+1 = tn + 1 (n+1)(n+2) . Proposition 1 : Pour tout entier naturel n, tn = n n+1 . 2. On considère trois suites (un ) , (vn) et (wn) définies surN telles que : pour tout entier naturel n, un 6wn 6 vn . Proposition 2 : Si les suites (un )et (vn) sont adjacentes alors la suite (wn) est convergente. 3. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur l'intervalle [0 ; 1]. Proposition 3 : Si ∫1 0 f (x)dx = ∫1 0 g (x)dx alors f = g sur l'intervalle [0 ; 1]. EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct ( O, ?? u , ?? v ) (unité : 1 cm).

• boule noire


• réels ?


• variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur


• aire du rectangleopmq estmaximale

Sujets

• Boule noire

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2010
• Nombre de lectures: 23

Extrait

[BaccalauréatS(obligatoire)Polynésie\
septembre2010
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
Pourchacunedespropositionssuivantes,indiquersielleestvraieoufausseetdonner
une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte
aucunpoint.
1. Onconsidèrelasuite(t )définiepourtoutentiernatureln par:n
1
t =0etpourtoutentiernatureln, t =t + .0 n+1 n
(n+1)(n+2)
n
Proposition1:Pourtoutentiernatureln, t = .n
n+1
2. Onconsidèretroissuites(u ), (v )et(w )définiessurNtellesque:n n n
pourtoutentiernatureln, u 6w 6v .n n n
Proposition2 : Siles suites u et v sont adjacentes alorsla suite w est( ) ( ) ( )n n n
convergente.
3. Soient f etg deuxfonctionsdéfiniesetcontinuessurl’intervalle[0;1].
Z Z1 1
Proposition3:Si f(x)dx= g(x)dx alors f =g surl’intervalle[0;1].
0 0
EXERCICE 2 5points
Communàtouslescandidats
³ ´→− →−
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormédirect O, u , v (unité:1cm).
Onferaunefigurequel’oncompléteraaufuretàmesuredesquestions.
OnconsidèrelespointsA,B,SetΩd’affixesrespectives a=−2+4i, b=−4+2i,
s=−5+5ietω=−2+2i.
Soith l’homothétiedecentreSetderapport3.
OnappelleCl’imagedupointAparh etDl’imagedupointBparh.
1. a. Déterminerl’écriturecomplexedeh.
b. DémontrerquelepointCapouraffixec=4+2ietquelepointDapour
affixed=−2−4i.
2. DémontrerquelespointsA,B,CetDsontsurunmêmecercledontonpréci-
seralecentreetlerayon.
3. Démontrerqueladroite(SΩ)estlamédiatricedusegment[AB].
4. SoitPlemilieudusegment[AC].
a. Déterminerl’affixep dupointP.
³ ´ω−p 1 −−→ −−→
b. Démontrerque =− i.Endéduireunemesuredel’angle BD ; PΩ .
d−b 2
5. SoitQlemilieudusegment[BD].
QuereprésentelepointΩpourletrianglePQS?BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d’un sac
contenantuneboulenoireet9boulesblanches,puisàlancerundébienéquilibréà
sixfacesnumérotéesde1à6.
Silaboulenoireesttirée,ilfautobtenirunnombrepairavecledépourgagner.Sila
boulenoiren’estpastirée,ilfautobtenirunsixavecledépourgagner.
OnappelleNl’évènement «laboulenoirefigureparmilesboulestirées»etGl’évè-
nement«lejoueurgagne».
1. a. Déterminerlaprobabilitédel’évènement N.
3
b. Démontrerquelaprobabilitédel’évènementGestégaleà .Onpourra
10
s’aiderd’unarbrepondéré.
c. Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré la boule
noire?
2. Pourjoueràcejeu,unemisededépartdemeurosestdemandée,oùmestun
réelstrictementpositif.
Silejoueurgagne,ilreçoit4euros.
S’ilnegagnepasmaisqu’ilatirélaboulenoire,lejoueurrécupèresamise.
S’ilnegagnepasetqu’iln’apastirélaboulenoire,lejoueurperdsamise.
Onappelle X lavariablealéatoiredonnantlegainalgébriquedujoueur.
a. DéterminerlaloideprobabilitédeX.
b. Exprimerl’espérancemathématiquedeX enfonctiondem.
c. On dit que le jeu est équitable si l’espérance mathématique de X est
nulle.
Déterminerm pourquelejeusoitéquitable.
3. Soitn unentiernaturelnonnul.
Onjouen foisàcejeusachantqu’aprèschaquepartielesboulessontremises
danslesac.
Déterminerlavaleurminimaleden pourlaquellelaprobabilitédegagnerau
moinsunefoisestsupérieureà0,999.
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
Partie1
x xSoitg lafonctiondéfiniesur[0;+∞[par g(x)=e −xe +1.
1. Déterminerlalimitedeg en+∞.
2. Étudierlesvariationsdelafonction g.
3. Donnerletableaudevariationsdeg.
4. a. Démontrerquel’équation g(x)=0admetsur[0;+∞[uneuniquesolu-
tion.Onnoteαcettesolution.
−2b. Àl’aidedelacalculatrice,déterminerunencadrementd’amplitude10
deα.
1
αc. Démontrerquee = .
α−1
5. Déterminerlesignedeg(x)suivantlesvaleursdex.
Polynésie 2 septembre2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Partie2
4x
Soit A lafonctiondéfinieetdérivablesur[0;+∞[telleque A(x)= .
xe +1
′1. Démontrerquepourtoutréelx positifounul, A (x)alemêmesignequeg(x),
oùg estlafonctiondéfiniedanslapartie1.
2. Endéduirelesvariationsdelafonction A sur[0;+∞[.
Partie3
4
Onconsidèrelafonction f définiesur[0;+∞[par f(x)= .
xe +1 ³ ´→− →−
Onnote(C)sacourbereprésentativedansunrepèreorthonormé O, ı ,  .
Lafigureestdonnéeenannexe.
Pourtoutréelx positifounul,onnote:
M lepointde(C)decoordonnées(x ; f(x)),
P lepointdecoordonnées(x ; 0),
Q lepointdecoordonnées(0; f(x)).
1. Démontrerquel’airedurectangleOPMQ estmaximalelorsqueM apourabs-
cisseα.
Onrappellequeleréelαaétédéfinidanslapartie1.
2. Lepoint M apourabscisseα.
Latangente(T)enM àlacourbe(C)est-elleparallèleàladroite(PQ)?
Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiative,
mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
Polynésie 3 septembre2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
ANNEXE
Cettepageneserapasàrendreaveclacopie.
Exercice4
y
2
1
C
O
x
−1 1 2 3
−1
−2
Polynésie 4 septembre2010