Baccalauréat S Polynésie juin 1995

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Polynésie juin 1995 \ EXERCICE 1 4 points ? étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; ?] et z un nombre complexe, on considère le polynôme P (z) défini par : P (z)= z3? (1?2sin?)z2+ (1?2sin?)z?1. 1. a. Calculer P (1). b. En déduire l'existence de trois nombres réels a, b, c tels que : P (z)= (z?1)(az2+bz+c) . Déterminer a, b, c. c. Résoudre, dans C, l'équation P (z)= 0. 2. On considère trois nombres complexes : z1 = 1 ; z2 =?sin?+ icos? ; z3 =?sin?? icos?. Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z1, z2 et z3. EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire Un supermarché commercialise des gaufrettes vendues par paquets pour lesquels : – dans 5% des cas l'emballage n'est pas intact ; – dans 70% des paquets d'emballage non intact, il y a au moins une gaufrette caseée ; – 90% des paquets d'emballage intact ne contiennent aucune gaufrette caseée. 1. Un client achète au hasard un paquet de ces gaufrettes. On note I l'évènement : « l'emballage est intact » et C l'évènement : « aumoins une gaufrette est cassée ».

• paquets d'emballage intact


• nature de ?


• emballage


• paquet


• droite∆ d'équation


• interprétation gra- phique


• repère


• tirages des paquets


• points enseignement obligatoire

Sujets

• Emballage
• Paquet
• Repère

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1995
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Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat S Polynésie juin 1995\

E X E R C IC E points1 4 αétant un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; ?] etzun nombre complexe, on considère le polynômeP(z) défini par : 3 2 P(z)=z−(1−2 sinα)z+(1−2 sinα)z−1. 1. a.CalculerP(1). b.En déduire l’existence de trois nombres réelsa,b,ctels que : ¡ ¢ 2 P(z)=(z−1)a z+b z+c. Déterminera,b,c. c.Résoudre, dansC, l’équationP(z)=0. 2.On considère trois nombres complexes :

z 1 =1 ;z 2 = −sinα+i cosα;z 3 = −sinα−i cosα. Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z 1 ,z 2 etz 3 .

E X E R C IC E 2 4points Enseignement obligatoire Un supermarché commercialise des gaufrettes vendues par paquets pour lesquels : – dans5 % des cas l’emballage n’est pas intact ; – dans70 %des paquets d’emballage non intact, il y a au moins une gaufrette caseée ; – 90% des paquets d’emballage intact ne contiennent aucune gaufrette caseée. 1.Un client achète au hasard un paquet de ces gaufrettes. On noteIl’évènement : « l’emballage est intact » et C l’évènement : « au moins une gaufrette est cassée ». a.Calculer la probabilité deI. b.On considère les évènements suivants : E: « l’emballage n’est pas intact et aucune gaufrette n’est cassée » F: « l’emballage est intact et aucune gaufrette n’est cassée ExprimerEetFen fonction deI,I(évènement contraire deI) etC(évè nement contraire deC). Calculer alors les probabilités deE, deF. En déduire la probabilité deC(évènement contraire deC) puis celle de C. 2.ufrettes sontLors d’une vente promotionnelle dans ce supermarché, ces ga vendues par lots de cinq paquets. Un client achète au hasard un tel lot. On suppose que les tirages des paquets formant un lot sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que dans ce lot il y ait au moins quatre paquets d’emballage intact ? −4 Qu’il n’y ait aucune gaufrette cassée ? On donnera les résultats à 10près.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

E X E R C IC E 2 4points Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthononnal directO,u,v. On désigne parM,N,Ptrois points distincts de ce plan d’affixes respectivesm,n,p. 1.Démontrer que le triangleM N Pest rectangle enNsi et seulement si le nombre p−n complexe iest un réel non nul. m−n 2 4 2.Dans cette questionM,N,Psont d’affixes respectivesz,z,z. a.Quelles conditions doit vérifierzpour queM,N,Psoient distincts deux à deux ? b.Démontrer que l’ensemble des pointsMd’affixez=x+iydu plan tels que le triangleM N Psoit rectangle enNest une coniqueΓd’équation µ ¶ 2 1 1 2 x+ −y=, privée de deux points que l’on précisera. 2 4 3.Préciser la nature deΓet déterminer ses éléments géométriques (sommets, foyers, excentricité, asymptotes). 4.ReprésenterΓet mettre en place sur la figure les sommets, les foyers et les asymptotes deΓ.

P R O B L È M E 12 points Le but du problème est d’étudier, dans un premier temps, la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par : µ ¶ x+2x1 1 f(x)=xln+ +pourx>0 etf(0)= x4 22 puis de trouver une approximation de la solution de l’équationf(x)=x.

Partie A ³ ´ −→−→ Dans cette partie le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,, unité gra phique : 2 cm. On désigne parCla courbe représentative defdans ce repère .

I Étude d’une fonction auxiliaire

Soitgla fonction définie sur [0 ;+∞[ par :

2 1 g(x)=ln(x+2)−lnx− +. x+2 4 1. a.Étudier le sens de variation deg. b.Déterminer limg(x). x→+∞ c.En déduire le signe deg(x) pour toutxde [0 ;+∞[. 1 2.Montrer que pour toutxde l’intervalle [2 ; 3], on ag(x)<. 2 II.

1. a.Déterminer la limite, quandxtend vers zéro par valeurs strictement po µ ¶ x+2 1 sitives, dexln (onpourra poserx=) et démontrer quefest t x continue enx=0. b.La fonctionfestelle dérivable enx=0 ? Donner une interprétation gra phique de ce résultat. c.Étudier le sens de variation def(on vérifiera quef((x)=g(x)).

Polynésie

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juin 1995

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

µ ¶ x+2 ln(1+h) 2. a.Démontrer quelimxln=2 (on pourra utiliser le résultat :lim= x→+∞ x h→0 h 1). b.En déduirelimf(x). x→+∞ x5 c.Montrer que la droiteΔd’équationy= +est asymptote àCau voisi 4 2 nage de + ?. ³ ´ −→−→ 3.Tracer dans le repèreO,ı,la droiteΔ, la courbeCet la droite d’équation y=x.

Partie B

Dans cette partie, on désigne par I l’intervalle [2 ; 3]. 1. a.Soithla fonction définie sur I parh(x)=f(x)−x. Montrer que pour tout ′ xde I,h(x)<0 (on remarquera queh?(x)=g?(x)−1). b.En déduire le sens de variation dehet montrer que l’équationh(x)=0 admet une unique solution dans I ; on noteαcette solution. ′ 1 2. a.Montrer que pour toutxde I, 0<f(x)<. 2 1 b.En déduire que, pour toutxde I,|f(x)−α| 6 |x−α|. 2 3.On définit la suite (u n ) n∈N paru n+1 ( n ) 0 =2 et pour toutndeN,u=f u. On admet que pour toutndeN,u n appartient à l’intervalle I. a.Établir les inégalités suivantes : 1 pour toutndeN, | u n+1 −α | 6 | u n −α | (1) 2 µ ¶ n 1 pour toutndeN, | u n −α | 6 (2) 2 b.En déduire q ue la suite (u n ) n∈N converge. Quelle est sa limite ? c.Déterminern 0 entier naturel tel queu n soit une valeur approchée deα 0 −3−3 à 10près. En déduire alors une approximation deαprès.à 10

Polynésie

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