Baccalauréat S Pondichéry juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Pondichéry juin 1996 \ EXERCICE 1 4 points Un fabricant de berlingots possède trois machines A, B et C qui fournissent respec- tivement 10%, 40% et 50% de la production totale de son usine. Une étude a montré que le pourcentage de berlingots défectueux est de 3,5% pour la machine A, de 1,5% pour la machine B et de 2,2% pour la machine C. Après fabrication, les berlingots sont versés dans un bac commun aux trois ma- chines. On choisit au hasard un berlingot dans le bac. 1. Montrer que la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C et soit défectueux est 0,011. 2. Calculer la probabilité que ce berlingot soit défectueux. 3. Calculer la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C sachant qu ?il est défectueux. 4. On prélève successivement dans le bac 10 berlingots en remettant à chaque fois le berlingot tiré dans le bac. Calculer la probabilité d ?obtenir aumoins un berlingot défectueux parmi ces 10 prélèvements. EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . 1. On considère trois points distincts A, B et C d'affixes respectives a, b et c. a. Interpréter géométriquement l'argument du quotient c?a b?a · b.

• berlingot tiré dans le bac


• c?a b?a


• affixe z2


• argument du quotient c?a


• berlingot


• points a2


• repère orthonormal direct

Sujets

• Berlingot
• bac

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1996
• Nombre de lectures: 61
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Pondichéry juin 1996\

E X E R C IC E 1 4points Un fabricant de berlingots possède trois machines A, B et C qui fournissent respec tivement 10 %, 40 % et 50 % de la production totale de son usine. Une étude a montré que le pourcentage de berlingots défectueux est de 3,5 % pour la machine A, de 1,5 % pour la machine B et de 2,2 % pour la machine C. Après fabrication, les berlingots sont versés dans un bac commun aux trois ma chines. On choisit au hasard un berlingot dans le bac. 1.Montrer que la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C et soit défectueux est 0,011. 2.Calculer la probabilité que ce berlingot soit défectueux. 3.Calculer la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C sachant qu ?il est défectueux. 4.On prélève successivement dans le bac 10 berlingots en remettant à chaque fois le berlingot tiré dans le bac. Calculer la probabilité d ?obtenir au moins un berlingot défectueux parmi ces 10 prélèvements.

E X E R C IC E points2 4 Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal directO,u,v. 1.On considère trois points distincts A, B et C d’affixes respectivesa,betc. c−a a.Interpréter géométriquement l’argument du quotient∙ b−a c−a b.Montrer que A, B et C sont alignés si et seulement siest un nombre b−a réel. 2.Placer sur une figure (unité graphique : 1cm) les points A 1 , B 1 , et C 1 , d’affixes respectives : p a 1 =2,b−1=i 3,c 1 = −4+3i 3. Montrer, à l’aide de la propriété précédente, que les points A 1 , B 1 et C 1 sont alignés. 3.On considère les points A 2 , B 2 , C 2 , A 3 , B 3 , C 3 , tels que les quadrilatères OA 1 A 2 A 3 , OB 1 B 2 B 3 , OC 1 C 2 C 3 soient des carrés directs. a.Tracer les carrés OA 1 A 2 A 3 , OB 1 B 2 B 3 , OC 1 C 2 C 3 . b.Donner les affixesa 3 etb 3 des points A 3 et B 3 puis les affixesa 2 etb 2 des points A 2 et B 2 . π c.À l’aide de la rotation de centre O et d’angle, calculer l’affixec 3 de C 3 2 à l’aide dec 1 . d.En déduire que les points A 3 , B 3 et C 3 sont alignés. © ª 4. a.Déterminer le réelµ(O,tel que le barycentre du systèmeµ), (C 1 , (, 1)C 3 , 1) soit C 2 ∙ b.Calculer l’affixec 2 de C 2 . c.Montrer que les points A 2 , B 2 et C 2 sont alignés.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

E X E R C IC E 2 4points Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal directO,u,v. Cet exercice propose l’étude de l’ensemble (C) des pointsMdu plan dont les affixes vérifient :

2 2 | (1+i)z−3+3i | +| z−6 | = 54. 1. Premièreméthode a.En posantz=x+iy, donner l’équation cartésienne de (C). b.En déduire la nature de (C). c.Construire (C). 2. Deuxièmeméthode On désigne parsla similitude qui, au pointMd’affixez, associe le point M 1 =s(M) d’affixez 1 =(1+i)z−3+3i et on désigne partla translation qui, au pointMd’affixez, associe le pointM 2 =t(M) d’affixez 2 =z−6. a.Caractériser géométriquement ces deux transformations. b.Déterminer les antécédents respectifs S et T de O parsett. SM. TM SMTM c.Calculer le rapportpuis le rapport. OM 1 OM 2 2 2 d.En déduire que (C) est la ligne de niveau définie par 2SM+TM=54. e.Calculer l’affixe du barycentre G du système {(S, 2), (T, 1)} 2 f.Montrer que l’ensemble (C) est défini parMG=8. g.En déduire la nature et les éléments qui déterminent (C).

P R O B L È M E 12 points Sur la figure cidessus, sont représentées la courbe représentativeCdans une repère ³ ´ −→−→ orthonormal O,ı,, d’une fonctionfdéfinie et dérivable surRainsi que son asymptoteDet sa tangenteTau point d’abscisse 0.

T

4

3

2

1

C

D

O −5−4−3−2−2 31 1 −1

Pondichéry

−2

−3

−4

2

juin 1996

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

On sait que le pointJ(0 ; 1) est centre de symétrie de la courbeCet que l’asymptote Dpasse par les pointsK(−1 ;0) etJ, et que la tangenteTa pour équation réduite y=(1−e)x+1.

A Expression def

1.Déterminer une équation deD. 2.On suppose qu’il existe des réelsmetpet une fonctionϕdéfinie surRtelle que, pour toutxréel,f(x)=m x+p+ϕ(x) avec limx→ +∞ϕ(x)=0. a.Déterminermetp. b.Démontrer que pour toutxréel,f(x)+f(−x)=2. ′ c.En déduire que la fonctionϕest impaire puis que la fonctionf, dérivée def, est paire. 3.On suppose maintenant que, pour toutxréel :

2 −x ϕ(x)=(a x+b)e oùaetbsont des réels. Démontrer en utilisant les données et les résultats précédents quea= −e et queb=0. B On considère la fonctionfdéfinie surRpar : 2 −x+1 f(x)=1+x−xe . ³ ´ −→−→ On suppose que la courbeCreprésente la fonctionfdans le repèreO,ı,. 1. a.Vérifier que pour tout réelx: ¡ ¢ 2 ′2−x+1 f(x)=1+2x−1 e. ′ Calculerf(0). b.Vérifier queTest bien la tangente à la courbeCau point d’abscisse 0. étudier la position de la courbeCvis à vis de sa tangenteT. 2.Le graphique suggère l’existence d’un minimum relatif defsur l’intervalle [0 ; 1]. ′′3 a.Démontrer quef(x) est du signe de 6x−4x. ′ b.Démontrer que l’équationf(x)=0 admet une solutionαunique dans l’intervalle [0 ; 1]. c.Montrer que 0,51<α<0, 52. d.Exprimerf(α) sous la forme d’un quotient de deux polynômes. C Sur le graphique, la courbeCest très proche de son asymptote pour les points d’abs cisses supérieure à 2,4. Cette partie propose de préciser cette situation en calculant, pour tout réelλpositif ou nul, l’aireA(λ), exprimée en unités d’aire, du domaine limité parC,Det les droites d’équationsx=0 etx=λ. 1.ExprimerA(λ) en fonction deλ. 2.Déterminer la limite A deA(λ) quandλtend vers+∞. −2 3.À partir de quelle valeur deλaton | A(λ)−A | 6 10 ?

Pondichéry

3

juin 1996