Baccalauréat SMétropole juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat SMétropole 15 juin 2007\ EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats L'espace est muni du repère orthonormal ( O, ??ı , ??? , ??k ) . Soient (P) et (P?) les plans d'équations respectives x+2y?z+1 = 0 et?x+y+z = 0. Soit A le point de coordon- nées (0 ; 1 ; 1). 1. Démontrer que les plans (P) et (P?) sont perpendiculaires. 2. Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est : ? ? ? ? ? ? ? ? ? x = ?13 + t y = ?13 z = t où t est un nombre réel. Démontrer que les plans (P) et (P?) se coupent selon la droite (d). 3. Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P?). 4. En déduire la distance du point A à la droite (d). EXERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats 1. Restitution organisée de connaissances Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de déri- vation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b]. 2.

• cercle ?


• restitution organisée de connaissances démontrer


• plans d'équations respectives


• point d'affixe z ?


• points commun

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 14
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSMétropole15juin2007\
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
? ?!?!? !? 0L’espace est muni durepèreorthonormal O, ı , | , k . Soient (P)et (P ) les plans
d’équationsrespectivesx?2y?z?1?0et?x?y?z?0.SoitAlepointdecoordon-
nées(0;1;1).
01. Démontrerquelesplans(P)et(P )sontperpendiculaires.
2. Soit(d)ladroitedontunereprésentationparamétriqueest:
8
1> x ? ? ?t>< 3
1 oùt estunnombreréel.y ? ?>> 3:
z ? t
0Démontrerquelesplans(P)et(P )secoupentselonladroite(d).
03. CalculerladistancedupointAàchacundesplans(P)et(P ).
4. EndéduireladistancedupointAàladroite(d).
EXERCICE 2 3points
Communàtouslescandidats
1. Restitutionorganiséedeconnaissances
Démontrerlaformuled’intégrationparpartiesenutilisantlaformulededéri-
vationd’unproduitdedeuxfonctionsdérivables,àdérivéescontinuessurun
intervalle[a ; b].
2. Soientlesdeuxintégralesdéfiniespar
Z Z? ?
x xI? e sinxdx etJ? e cosxdx.
0 0
?a. Démontrerque1=?JetqueI?J?e ?1.
b. EndéduirelesvaleursexactesdeIetdeJ.
EXERCICE 3 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
PartieA
Onconsidèrel’équation:
3 2(E) z ?(4?i)z ?(13?4i)z?13i?0
oùz estunnombrecomplexe.
1. Démontrerquelenombrecomplexeiestsolutiondecetteéquation.
2. Déterminerlesnombresréelsa, b etc telsque,pourtoutnombrecomplexe z
onait: ? ?
3 2 2z ?(4?i)z ?(13?4i)z?13i?(z?i) az ?bz?c .
3. Endéduirelessolutionsdel’équation(E).BaccalauréatS A.P.M.E.P.
PartieB
? ?!? !?
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct O, u , v , on dé-
signeparA,BetClespointsd’affixesrespectivesi,2?3iet2?3i.
? 01. Soit r la rotation de centre B et d’angle . Déterminer l’affixe du point A ,
4
imagedupointAparlarotationr.
02. DémontrerquelespointsA ,BetCsontalignésetdéterminerl’écriturecom-
0plexedel’homothétie decentreBquitransformeCenA .
EXERCICE 3 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Lafigureestproposéeenannexe1.Elleseracomplétéetoutaulongdel’exercice.
? ?!? !?
Dansleplancomplexe,rapportéaurepèreorthonormaldirect O, u , v ,onconsi-
dèrelespointsA,BetC,d’affixesrespectives?5?6i, ?7?2iet3?2i.Onadmetque
lepointF,d’affixe?2?iestlecentreducercleΓcirconscritautriangleABC.
1. Soit H le point d’affixe?5. Déterminer les éléments caractéristiques de la si-
militudedirectedecentreAquitransformelepointCenlepointH.
02. a. Étantdonnédesnombrescomplexes z et z ,onnote M lepoint d’affixe
0 0z et M lepointd’affixez .Soient a etb desnombrescomplexes.
0Soit s latransformationd’écriturecomplexe z ?az?b qui,aupoint M,
0associelepoint M .
Déterminer a et b pour que les points A et C soient invariants par s.
Quelleestalorslanaturedes?
b. En déduire l’affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la
droite(AC).
c. VérifierquelepointEestùnpointducercleΓ.
3. SoitIlemilieudusegment[AC].
Déterminerl’affixedupointG,imagedupointIparl’homothétie decentreB
2
etderapport .
3
DémontrerquelespointsH,GetFsontalignés.
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples.
Pourchaquequestion,uneseuledespropositionsestexacte.Ondonnerasurlafeuille
la réponsechoisie sansjustification. Ilseraattribuéun point sila réponseestexacte,
zérosinon.
?3Danscertainesquestions,lesrésultatsproposésontétéarrondisà10 près.
1. Un représentant decommerce propose unproduit à la vente. Une étude sta-
tistiqueapermisd’établirque,chaquefoisqu’ilrencontreunclient,laproba-
bilitéqu’ilvendesonproduitestégaleà0,2.Ilvoitcinqclientsparmatinéeen
moyenne. La probabilité qu’il ait vendu exactement deux produits dans une
matinéeestégaleà:
a. 0,4 b. 0,04 c. 0,1024 d. 0,2048
2. Dans une classe, les garçons représentent le quart de l’effectif. Une fille sur
troisaeusonpermisdupremiercoup,alorsqueseulementungarçonsurdix
l’a eu du premier coup. On interroge un élève (garçonou fille) au hasard. La
probabilitéqu’ilaiteusonpermisdupremiercoupestégaleà:
a. 0,043 b. 0,275 c. 0,217 d. 0,033
Métropole 2 15juin2007BaccalauréatS A.P.M.E.P.
3. Dans la classe de la question 2, on interroge un élève au hasard parmi ceux
ayant eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit un
garçonestégaleà:
a. 0,100 b. 0,091 c. 0,111 d. 0,25
4. Un tireur sur cible s’entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones
délimitéespardescerclesconcentriques,derayonsrespectifs10,20et30cen-
timètres. On admet que la probabilité d’atteindre une zone est proportion-
nelleàl’airedecettezoneetqueletireuratteinttoujourslacible.Laprobabi-
litéd’atteindrelazonelapluséloignéeducentreestégaleà:
5 9 4 1
a. b. c. d.
9 14 7 3
EXERCICE 5 5points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]?1;?1[par:
ln(1?x)
f(x)?x? .
1?x
LacourbeC représentativede f estdonnéesurledocumentannexe2quel’oncom-
pléteraetquel’onrendraaveclacopie.
PartieA:ÉtudedecertainespropriétésdelacourbeC
0 01. On note f la fonction dérivée de f. Calculer f (x) pour tout x del’intervalle
]?1; ?1[.
22. Pourtout x del’intervalle]?1; ?1[,onpose N(x)?(1?x) ?1?ln(1?x).
Vérifierquel’ondéfinitainsiunefonctionstrictementcroissantesur]?1; ?1[.
Calculer N(0).Endéduirelesvariationsde f.
3. SoitD la droite d’équation y ? x. Calculer les coordonnées du point d’inter-
sectiondelacourbeC etdeladroiteD.
PartieB:Étuded’unesuiterécurrentedéfinieàpartirdelafonctionf
1. Démontrerquesi x2[0; 4],alors f(x)2[0 ; 4].
2. Onconsidèrelasuite(u )définiepar:n
?
u ? 4et0
u ? f (u ) pourtoutn deN.n?1 n
a. Sur le graphique de l’annexe 2, en utilisant la courbeC et la droiteD,
placerlespointsdeC d’abscissesu ,u , u etu .0 1 2 3
b. Démontrerquepourtoutn deNona:u 2[0 ; 4].n
c. Étudierlamonotoniedelasuite(u ).n
d. Démontrerquelasuite(u )estconvergente.Ondésignepar`salimite.n
e. UtiliserlapartieApourdonnerlavaleurde`.
Métropole 3 15juin2007BaccalauréatS A.P.M.E.P.
ANNEXE
Àcompléteretàrendreaveclacopie
Exercice5
y
5 D
C
4
3
2
1
1
0
1 xO
-1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Métropole 4 15juin2007BaccalauréatS A.P.M.E.P.
ANNEXE1
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Àcompléteretàrendreaveclacopie
Exercice3
? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
!?
xv
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
!?O
u
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
B
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Métropole 5 15juin2007
bb