Baccalauréat SMétropole–La Réunion septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
[ Baccalauréat SMétropole–La Réunion 16 septembre 2011\ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Unmagasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utili- sation est égale à 0,12. Tous les résultats seront arrondis à 10?3 Partie A Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin. On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l'achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise. 1. Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première an- née d'utilisation ? 2. Quelle est la probabilité qu'au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d'utilisation ? Partie B On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle de paramètre ? où ?, est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout réel positif t , p(Y 6 t)= ∫t 0 ?e??x dx. Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à 10?3. 1. Exprimer p(Y 6 1) en fonction de ?.

• application du plan


• vecteur ??n


• durée de viemoyennedm de cesmoteurs


• vecteur ??w d'affixe ei


• unique point


• points enseignement obligatoire


• points commun

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2011
• Nombre de lectures: 81
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Métropole–La Réunion 16 septembre 2011\

E X E R C IC E 1 Commun à tous les candidats

5 points

Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service aprèsvente a permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en panne pendant la première année d’utili sation est égale à 0,12. −3 Tous les résultats seront arrondis à 10

Partie A Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin. On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l’achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise. 1.Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première an née d’utilisation ? 2.Quelle est la probabilité qu’au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d’utilisation ? Partie B On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, dechaque moteur est une variable aléatoireYqui suit une loi exponentielle de paramètreλoùλ, est un réel strictement positif. Z t −λx On rappelle que pour tout réel positift,p(Y 6 t)=λe dx. 0 −3 Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à 10. 1.Exprimerp(Y 6 1) en fonction deλ. En déduire la valeur deλ. Pour la suite de l’exercice, on prendraλ=0, 128. 2.Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 3 ans ? 3.Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 4 ans sachant qu’il a duré plus d’un an ? 4.On admet que la durée de vie moyenned m de ces moteurs est égale àlimF(t) oùFest la fonction t→+∞ Z t −λx définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ parF(t)=λxe dx. 0 a.CalculerF(t) en fonction det. −1 b.En déduire la valeur ded m . On arrondira à 10.

E X E R C IC E 2 Commun à tous les candidats

Partie A  Étude du signe d’une fonction

On désigne parfla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par

6 points

2 f(x)=x+4 lnx. 1.Déterminer le tableau de variation de la fonctionfen précisant les limites defen 0 et en+∞. 2.Démontrer que l’équationf(x)=0 admet une solutionαet une seule dans l’intervalle ]0 ;+∞[. 3.En déduire le signe def(x) selon les valeurs du réel strictement positifx.

Partie B  Une valeur approchée du réelαdéfini dans la partie A

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

Sur le graphique fourni cidessous, on a tracé une partie de la courbe représentative (C) de la fonction gdéfinie surRpar : 1 2 −x g(x)=e 4 On définit la suite (u n ) par : ½ u 0 =0, 5 u n+1 =g ( u n ) pourtoutn∈N. 1.Vérifier queαest l’unique solution de l’équationg(x)=x. 2.Au moyen de la courbe (C) et de la droite d’équationy=x, représenter les termesu 1 ,u 2 etu 3 de la suite (u n ) sur l’axe des abscisses. Quelle conjecture peuton faire sur la convergence de la suite (u n ) ? 3.On admet que pour tout entier natureln,u 2n 6 α 6 u 2n+1 . En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entiernpour lequel les trois premières déci males deu n etu n+1 sont identiques. −3 En déduire que 0,838 est une valeur approchée deαà 10près.

1,2

1,0 (C) 0,8

0,6

0,4

0,2

O ,4−0,2

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

Partie C  Un problème de distance

On appelle (Γ) la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonctionϕdéfinie sur l’in tervalle ]0 ;+∞[ par

ϕ(x)=2 lnx. L’objectif de cette partie est de démontrer que parmi les points de la courbe (Γ), il y en a un et un seul qui est plus proche de l’origine O que tous les autres. 1.SoientMun point de la courbe (Γ) etxson abscisse. Exprimer OMen fonction dex. 2. a.Soithla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par

2 2 h(x)=x+4(lnx) .

Étudier les variations de la fonctionh. On pourra utiliser la partie A. b.En déduire qu’il existe un unique point A de la courbe (Γ) tel que pour tout pointMde (Γ), distinct de A, on ait OM>OA.

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

3.Démontrer que la droite (OA) est perpendiculaire à la tangente T A à la courbe (Γ) au point A.

E X E R C IC E 3 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ −→ L’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k.

4 points

Partie A  Restitution organisée de connaissances −→−→−→ −→ On désigne para,b,c,dquatre réels tels que le vecteurn=a ı+b+c ksoit différent du vecteur nul. On appellePle plan d’équationa x+b y+c z+d=0. −→−→ Démontrer que le vecteurnest un vecteur normal au planP, c’estàdire que le vecteurnest orthogo −→ nal à tout vecteur ABoù A et B sont deux points quelconques du planP.

Partie B  Questionnaire à choix multiples

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de ce choix. Il est attribué1point si la réponse est exacte et justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse. On désigne parPle plan d’équation cartésienne 2x−y+3z=0 et par A et B les deux points du planP de coordonnées respectives (1 ; 2 ; 0) et (0 ; 3 ; 1). 1.Soient C, D, E les points de coordonnées respectives (1 ; 1 ;−1), (−1 ; 4 ; 2), (1 ; 5 ; 1). a.Les points A, B, C définissent le planP. b.Les points A, B, D définissent le planP. c.Les points A, B, E définissent le planP.  x=1−t  2.La droiteDest définie par la représentation paramétrique : y=t, t∈R.  z=2+t a.La droiteDest perpendiculaire au planP. b.La droiteDest strictement parallèle au planP. c.La droiteDest incluse dans le planP. 1 3.SoitSla sphère de centreΩ, de coordonnées (2 ; 5 ; 1), et de rayon. L’ensemble des points com 2 muns à la sphèreSet au planPest : a.vide, b.constitué d’un seul point, c.un cercle.

E X E R C IC E points4 5 Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v. On désigne par A le point d’affixe i et parfl’application du plan dans luimême qui à tout pointM ′ ′ d’affixez, distincte de i, associe le pointMd’affixeztelle que :

z−i ′ z=. z+i ′ 1.Calculer l’affixe du point B , image du point B d’affixe 2−i par l’applicationf. ′ Placer les points B et Bsur une figure que l’on fera sur la copie. 2.Démontrer que l’applicationfn’admet pas de point invariant. On rappelle qu’un point invariant est un point confondu avec son image.

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

3. a.Vérifier que, pour tout nombre complexez,z−i=z+i. ′ b.Démontrer que OM=1 et interpréter géométriquement ce résultat. c.Démontrer que pour tout pointMdistinct de A, ³ ´³ ´ −−−→ −→ −→−−→ ′ u; OM=2u; AM+2kπoùkest un entier relatif. ′ d.En déduire une méthode de construction de l’imageMd’un point quelconqueMdistinct de A. −→ π i 6 4.Soit (d) la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteurwd’affixe e. a.Dessiner la droite (d). b.Déterminer l’image par l’applicationfde la droite (d) privée du point A.

E X E R C IC E points4 5 Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO,u,v. On note A et B les points de coordonnées respectives (1 ;0) et (6 ;1). ′ Pour tout pointMde coordonnées (x;y), on noteMl’image du pointMpar la symétrie orthogonale ¡ ¢ ′ ′ d’axe (AB) etx;yses coordonnées. 1. a.Justifier l’existence de deux nombres complexesaetbtels que, pour tout pointMd’affixez, ′ ′ l’affixezdu pointMest donnée par

′ z=a z+b. ½ 1=a+b b.En utilisant les points A et B, démontrer que 6+i=a(6−i)+b c.En déduire que, pour tout nombre complexez:

1 1 ′ z=(12+5i)z+(1−5i). 13 13 ¡ ¢ ′ ′′ d.Établir que, pour tout pointMde coordonnées (x;y), les coordonnéesx;ydu pointM sont telles que :

1 1 ′ ′ x=(12x+5y+1) ety=(5x−12y−5). 13 13 2.On désigne parEl’ensemble des pointsMdont les coordonnées (x;y) sont des entiers relatifs et ′ tels que le pointMassocié appartienne à l’axe des abscisses. a.Justifier queM(x;y) appartient àEsi et seulement si 5(x−1)=12y. b.En déduire queEest l’ensemble des points de coordonnées (1+12k; 5k) oùkest un entier relatif. 3.Dans cette question, on suppose que les coordonnées deMsont des entiers relatifs et que l’abs ′ cisse deMest un entier relatif. a.Démontrer quex≡5y+1 [13]. ′ b.En déduire que 5x−12y−5≡0 [13]et que l’ordonnée deMest un entier relatif. 4.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. ′ Déterminer les pointsMde la droite d’équationx=2 tels que les coordonnées du pointMsoient des entiers relatifs. On pourra montrer que l’ordonnéeyd’un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13.

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