Baccalauréat STI France juin Génie des matériaux mécanique B C D E

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI France 18 juin 2008 \ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E EXERCICE 1 5 points 1. ∆ = 4? 4? 4 = ?12 = ( 2i p 3 ) . L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : z1 = 2+2i p 3 2 = 1+ i p 3 et z1 = 2?2i p 3 2 = 1? i p 3. 2. a. |zA|2 = 1+3= 4?|zA| = 2. On peut écrire zA = 2 ( 1 2 ? i p 3 2 ) = 2 ( cos?pi3 + isin? pi 3 ) . Un argument de zA est donc ? pi 3 . zB = 2= 2ei0. Le module de zB est donc égale à 2 et un argument est 0. zC = zA, donc son module est égale à 2 et un de ses arguments est égal à pi 3 . b. c. On a vu que |zA| = |zC| = 2=OA=OC et que |zB| =OB= 2, ce qui montre que les points A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2. 3.

• droite ∆ d'équation


• e?x ?


• courbe c1 au voisinage


• module égal


• tangente


• coeffi- cient directeur


• demême zc?

Sujets

• France 3
• France 4
• France 2
• Tangente

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2008
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSTIFrance18juin2008\
Géniedesmatériaux,mécaniqueB,C,D,E
EXERCICE 1 5points
¡ p ¢
1. Δ= 4−4×4=−12= 2i 3 . L’équation a donc deux solutions complexes
conjuguées:
p p
p p2+2i 3 2−2i 3
z = =1+i 3 et z = =1−i 3.1 1
2 2
22. a. |z | =1+3=4⇒|z |=2.A AÃ !p
¡ ¢1 3 π πOn peut écrire z =2 −i =2 cos− +isin− . Un argument deA 3 32 2
π
z estdonc− .A
3
i0z =2=2e .Lemoduledez estdoncégaleà2etunargumentest0.B B
z =z ,doncsonmoduleest égaleà2etundesesargumentsestégalàC A
π
.
3
b.
c. Onavuque|z |=|z |=2=OA=OCetque|z |=OB=2,cequimontreA C B
que les points A, Bet C appartiennent au cerclede centre O et de rayon
2.
3. a. z aunmoduleégalà2,doncDappartientluiaussiaucercleprécédent.D
2π
Undesesargumentsestégalà .D’oùlaconstructionci-dessous.
3 Ã !p
¡ ¢ p2π 1 32π 2πi 3b. z =2e =2 cos +isin =2 − +i =−1+i 3.D 3 3 2 2
p ¡ p ¢ p p p
Doncz −z =−1+i 3− 1−i 3 =−1+i 3−1+i 3=−2+2i 3.D A p p
Demême z −z =1+i 3−2=−1+i 3.C B
−→ −→
On a donc z −z =2(z −z ) ⇐⇒ AD =2BC. Ces deux vecteurs sontD A C B
colinéaires,donclesdroites(AD)et(BC)sontparallèlesetlequadrilatère
ABCDestuntrapèze.
¯ ¡ p ¢¯ ¯ p ¯ p
¯ ¯ ¯ ¯c. AB=|z −z |= 2− 1−i 3 = 1+i 3 = 1+3=2.B A ¯ p ¡ p ¢¯
¯ ¯DemêmeCD=|z −z |= −1+i 3− 1+i 3 =|2|=2.D C
OnadoncAB=CD:letrapèzeABCDestisocèle.
D C
→−
v
B
→−O
−3 −2 −1 1 2u
A−2
bbbbA.P.M.E.P. Géniedesmatériaux
EXERCICE 2 5points
o1. Puisqu’ilyaéquiprobabilité,laprobabilitéd’écouterlachansonn 7estégale
1
à .
11
3
2. a. Ilyatroischansonsde200secondes; p(A= .
11
4
b. Ilya4chansonsdeplusde210secondes; p(B= .
11
c. Bsignifie:«lachansonauneduréeinférieurouégaleà210secondes».
³ ´ 6
Ilya6chansonsd’auplus210secondes,doncp B = .
11
3. a. X peutvaloir150,185,200,215,230,300.
x 150 185 200 215 230 300i
b. 1 2 3 2 2 1
p X=x( )i
11 11 11 11 11 11
1 2 3 2 2 1
c. OnaE(X)=150× +185× +200× +215× +230× +300× =
11 11 11 11 11 11
2310
=210.
11
Celasignifiequesurungrandnombred’écoutesn ,letempstotald’écoute
seraenvironde210n secondes.
PROBLÈME 10points
PartieA-Exploitationd’ungraphique
1. a. Onlitg(0)=0.
′b. g (0) nombre dérivé en 0 est le coefficient directeur dela tangente àCg
au point d’abscisse 0. Cette tangente contient le point (1; 2). Ce coeffi-
cientdirecteurestbienégalà2.
c. g sembleêtrepositivesurR .+
02. a. O(0; )∈C ⇐⇒ 0=b+e ⇐⇒ 0=b+1 ⇐⇒ b=−1.g
x ′ xb. Comme g(x)=ax−1+e ,g (x)=a+e .
′c. Onavuqueg (0)=2 ⇐⇒ a+1=2 ⇐⇒ a=1.
xConclusion g(x)x−1+e .
PartieB-Étuded’unefonction
µ ¶
1 4−x −x1. f(x)=x×1−4x× −x×e =x 1− −4e .
x x
4
Onsaitque lim =0,
x→−∞ x
−xlim e =+∞,doncparproduitdelimites,
x→−∞
lim f(x)=−∞.
x→−∞
4
2. a. Onsaitque lim =0,
x→+∞x
−xlim e =0,doncparproduitdelimites,
x→+∞
lim f(x)=+∞.
x→+∞
−xb. Soitlafonctiond définiepard(x)= f(x)−(x−4)=x−4−xe −x+4=
−x−xe .
−xComme lim xe =0,onpeutdirequeladroiteΔd’équation y=x−4
x→+∞
estuneasymptoteobliqueàlacourbeC auvoisinagedeplusl’infini.1
France 2 18juin2008A.P.M.E.P. Géniedesmatériaux
−xc. Onavuqued(x)=−xe quiestdusignede−x,carquelquesoitleréel
−xx, e >.
Doncx<0⇒d(x)>0:lacourbeestaudessusdeladroite;
x>0⇒d(x)<0:lacourbeestaudessousdeladroite.
′ −x −x −x x −x3. a. f (x)=1−e +xe =e (e −1+x)=g(x)e .
−x ′b. Comme g(x)>0,ete >0,onpeutendéduireque f (x)>0.
c.
x −∞ 0 +∞
′f (x) +
+∞
−4f(x)
−∞
4. Voirenbas.
PartieC-Calculd’uneaire
′ −x −x −x −x1. a. OnaH (x)=e −(x+1)e =e (1−x−1)=−xe =h(x).
b. On en déduit qu’une primitive de la fonction f est la fonction F définie
surRpar:
2 2x x −xF(x)= −4x+H(x)= −4x+(x+1)e .
2 4
2. a. Voirplusbas.
−2b. On a f(2)= 2−4−2e < 0 et comme h(0)=−4< 0, la fonction f est
négativesurl’intervalle [0;2].
Doncenunitéd’aire:
Z Z · ¸22 2 2x 4−xA = −f(x)dx= −f(x)dx= − +4x−(x+1)e =− +8−
2 20 0 0
−2 −23e +1=7−3e
2L’unitéd’airevalant1cm ,ona:
−2 2A =7−3e ≈6,593≈6,59cm .
France 3 18juin2008A.P.M.E.P. Géniedesmatériaux
ANNEXE
5
y
4
4
3
3
2
2
1
C1 f
0
O x-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7−2 −1 1 2 3 4 5 6
-1
−1
-2
−2
-3
−3
-4
−4
-5
Δ −5
France 4 18juin2008