Baccalauréat STI Génie électronique

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie électronique \ Antilles-Guyane juin 2006 EXERCICE 1 4 points Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 3 cm, on considère les points A et B d'affixes respectives zA = p3+ i et zB = 1? i p3 ; i est le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 . 1. a. Écrire zA et zB sous forme trigonométrique, puis sous forme exponen- tielle. b. En utilisant la règle et le compas, placer les points A et B dans le repère ( O, ??u , ??v ) . On laissera apparents les traits de construction. c. Démontrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle en O. 2. Dans ce qui suit, on considère la rotation de centre O et d'angle pi2 . On appelle C l'image du point A par cette rotation. a. Placer le point C dans le repère ( O, ??u , ??v ) . On laissera apparents les traits de construction. b. Déterminer l'affixe zC du point C sous forme exponentielle. c. Quelle est l'image du point B par la rotation ? Justifier. d. En déduire l'image du triangle OAB par la rotation. EXERCICE 2 5 points Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistance R (exprimée en ohms), un condensateur de capacité C (exprimée en fa- rads) et un interrupteur.

• génie électrotechnique


• générateur dé- livre


• image du triangle oab par la rotation


• axe des abscisses


• triangle oab


• calcul d'aire


• rotation


• aire en cm2


• repère orthonormal direct

Sujets

• Génie électrotechnique
• Rotation

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2006
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Génie électronique\ AntillesGuyane juin 2006

E X E R C IC E 1 4points ³ ´ −→−→ Dans le plan muni d’un repère orthonormal directO,u,vd’unité graphique p 3 cm, on considère les points A et B d’affixes respectivesz A =3+i etz B =1−; ii 3 π est le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 1. a.Écrirez A etz B sous forme trigonométrique, puis sous forme exponen tielle. b.s le repèreEn utilisant la règle et le compas, placer les points A et B dan ³ ´ −→−→ O,u,v. On laissera apparents les traits de construction. c.Démontrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle en O. π 2.le .Dans ce qui suit, on considère la rotation de centre O et d’ang 2 On appelle C l’image du point A par cette rotation. ³ ´ −→−→ a.Placer le point C dans le repèreO,u,v. On laissera apparents les traits de construction. b.Déterminer l’affixez C du point C sous forme exponentielle. c.Quelle est l’image du point B par la rotation ? Justifier. d.En déduire l’image du triangle OAB par la rotation.

E X E R C IC E 2 5points Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistanceR(exprimée en ohms), un condensateur de capacitéC(exprimée en fa rads) et un interrupteur. On ferme l’interrupteur à l’instantt=0 et le générateur dé livre alors une tension constanteE(exprimée en volts). On procède ainsi à la charge du condensateur. La chargeqen coulombs du condensateur est une fonction dérivable du tempst (exprimé en secondes) ; l’intensitéidu courant (exprimée en ampères) est alors telle ′ quei(t)=q(t). On considère l’équation différentielle : 1E ′ y+y= RC R dans laquelleyest une fonction de la variable réellet, définie et dérivable surR. −4 Dans tout ce qui suit, on prendR=1 000,C=10 etE=10. 1.Écrire l’équation différentielle cidessus en remplaçantR,CetEpar leurs va leurs respectives. 2.On admet que la fonctionqest définie sur [0 ;+∞[ par

−3−10t−3 q(t)= −10 e+10 . ′ a.Déterminer la fonction dérivéeqde la fonctionq, puis vérifier queqest solution sur [0 ;+∞[ de l’équation différentielle établie à la question 1.

Baccalauréat STI Génie électrotechnique, génie optique

A. P. M. E. P.

b.Déterminerq(0), la limite deqen+∞et le sens de variations deqsur [0 ;+∞[.

3.On admet que l’intensité du courantiqui parcourt le circuit à l’instanttest −2−10t donnée pari(t)=10 e. Déterminer la valeur exacte de l’instantt 0 à partir duquel l’intensitéi(t) est −3 inférieure ou égale à 10ampère. Préciser sa valeur arrondie au centième de seconde. 4.On sait enfin que l’énergieWdissipée dans le conducteur ohmique, exprimée en joules, entre les instantst=0 ett=est donnée par :0, 23, Z 0,23 2 W=1 000i(t) dt. 0 a.Préciser une primitive de la fonctionhdéfinie sur [0 ;+∞[ par −20t h(t)=e . −3 b.Calculer alorsWet en donner la valeur arrondie à 10près.

P R O B L È M E 11 points On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur dont la courbe représentativeC f ³ ´ −→−→ dans un repère orthonormalO,ı,d’unité 1 cm est donnée en annexe. Cette courbe passe par le point A(1 ;4). Dans la partie I, le but est de déterminer graphiquement certaines propriétés de la fonctionf. On prouve ensuite ces propriétés dans la partie II à partir de l’expression def(x). Enfin, dans la partie III, on s’intéresse à un calcul d’aire.

Partie I On répondra aux questions suivantes en utilisant la représentation graphique don née en annexe. Si cela n’est pas demandé explicitement, on ne justifiera pas la ré ponse. 1. a.On admet que la fonctionf; 1[ et que l’axe desest décroissante sur ]0 ordonnées est asymptote àC f . Donner limf(x). x→0 b.Peuton donnerlimf(x) à partir du graphique ? Pourquoi ? x→+∞ 2. a.Justifier que l’équationf(x)=0 admet, sur l’intervalle [1 ; 15], deux solu tions ; on noteraαetβces solutions, avecα<β. b.Donner un encadrement d’amplitude 0,5 pour chacun des deux nombres αetβ. c.Donner le signe def(x) suivant les valeurs dexdans l’intervalle [1 ; 15]. 3.On admet que la droite passant par les points A(1 ; 4) et B(2 ;−2) est tangente à la courbeC f au point A. ′ a.Donner la valeur def(1). b.Donner, en justifiant, une équation de la droite (AB).

Partie II On admet maintenant que la fonctionfest définie sur ]0 ;+∞[ par

2 f(x)=2(lnx)−6 lnx+4. Le but de cette partie est de démontrer les résultats obtenus à la partie I, en utilisant l’expression def(x). 1. a.Calculer limf(x). Quelle propriété graphique de la courbeCretrouve f x→0 ton ainsi ?

AntillesGuyane

2

juin 2006

Baccalauréat STI Génie électrotechnique, génie optique

A. P. M. E. P.

· ¸ 4 b.Démontrer que pourx6=1 on af(x)=(lnx) 2lnx−6+puis en lnx déduire limf(x). x→+∞ 4 lnx−6 ′ ′ 2. a.Démontrer quef(x)=oufdésigne la dérivée def. x b.Résoudre dans l’intervalle ]0 ;+∞ln[ l’inéquation 4x−6>0. c.En déduire le sens de variations defet dresser le tableau de variations def. On calculera la valeur exacte du minimum defsur ]0 ;+∞[. 3. a.En utilisant les résultats de la question 2 démontrer que l’équation f(x)=0 admet exactement deux solutions sur l’intervalle [1 ; 15]. ¡ ¢¡ ¢ 2 b.Donner les valeurs exactes defe ,f(e) etfe . c.En déduire l’ensemble des solutions de l’équationf(x)=0 sur l’inter valle [1 ; 15]. 4.Déterminer une équation de la tangente T à la courbeC f au point A d’abscisse 1.

Partie III

1.Sur la feuille annexeà rendre avec la copie, hachurer le domaine D délimité par la courbeC f , l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=1 etx=2. 2.Démontrer que la fonctionFdéfinie sur ]0 ;+∞[ par

2 F(x)=2x(lnx)−10xlnx+14x

est une primitive defsur ]0 ;+∞[. 3. a.En déduire l’expression de l’aire, en unités d’aire, du domaine D sous la forme d’une intégrale. 2 2 b., ar, puis sa valeur en mmDonner la valeur exacte de cette aire en cm rondie à l’unité.

AntillesGuyane

3

juin 2006

Baccalauréat STI Génie électrotechnique, génie optique

Feuille annexe à rendre avec la copie

A. P. M. E. P.

7 6 6 5 5 4 4 A 3 3 2 2 1 1 −→  0 −→ -1 O 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 −1 ı 10 11 12 13 141 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 −1 -2 −2 B -3 −3

AntillesGuyane

4

juin 2006