Baccalauréat STI Génie électronique France juin 2005

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures Baccalauréat STI Génie électronique France juin 2005 EXERCICE 1 5 points 1. le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . On considère P (z)= z3?4z2+6z ?4 où z est un nombre complexe. a. Calculer P (2). b. Déterminer les nombres réels a, b et c tels queP (z)= (z?2) ( az2+bz +c ) . c. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexesC l'équation P (z)= 0. 2. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) d'unité 5 cm. a. Placer les points A, B et C d'affixes respectives zA = 2, zB = 1+i, zC = 1?i. b. Déterminer le module et un argument de zA, zB et zC. c. Montrer que C est l'image de B par une rotation de centre O dont on précisera l'angle. d. Déterminer les affixes des points I et J, milieux respectifs des segments [OA] et [BC]. e. Quelle est la nature du quadrilatère OBAC? Justifier la réponse. EXERCICE 2 4 points 1. On considère la fonction f définie sur l'ensemble R des nombres réels par f (x)= 3x?1+ 1 e2x .

• nature du quadrilatère obac


• génie électrotechnique


• solution de l'équation


• droite ∆


• milieux respectifs des segments


• encadrement de ? d'amplitude


• equation différentielle


• argument π


• repère orthonormal direct

Sujets

• France 3
• France 4
• France 2
• Génie électrotechnique
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2005
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

Baccalauréat STI Génie électronique France juin 2005

E XERCICE 15 points π 1.le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 3 2 On considèreP(z)=z−4z+6z−4 oùzest un nombre complexe. a.CalculerP(2).   2 b.Déterminer les nombres réelsa,betctels queP(z)=(z−2)a z+b z+c. c.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexesCl’équationP(z)=0.   −→−→ 2.O,Le plan est muni d’un repère orthonormal directu,vd’unité 5 cm. a.Placer les points A, B et C d’affixes respectivesz A =2,z B =1+i,z C =1−i. b.Déterminer le module et un argument dez A ,z B etz C . c.Montrer que C est l’image de B par une rotation de centre O dont on précisera l’angle. d.Déterminer les affixes des points I et J, milieux respectifs des segments [OA] et [BC]. e.Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? Justifier la réponse.

E XERCICE 24 points 1.On considère la fonctionfdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par

1 f(x)=3x−1+. 2x e 2x 3e−2   a.Montrer que la fonction dérivéefest telle quef(x)=. 2x e  b.Résoudre l’équationf(x)=0, puis justifier l’existence d’un minimum et en donner la valeur exacte. c.Dresser le tableau de variations def(les limites en−∞et+∞ne sont pas demandées).  2.On considère l’équation différentielle (E) :y+2y=6x+1 oùyest une fonction  de la variable réellexetysa dérivée.  a.Résoudre l’équation différentielley+2y=0. b.Démontrer que la fonctiongdéfinie surRparg(x)=3x−1 est solution de l’équation (E). c.Vérifier que la fonctionfest solution de (E) et quef(0)=0.

P ROBLÈME

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

11 points

Baccalauréat STI Génie électrotechnique, génie optique

  −→−→ On donne dans le plan muni d’un repère orthonormalO,ı,la représenta tion graphiqueΓd’une fonctiong, définie, dérivable et strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;+∞]. La droite T passant par O et A(1 ; 1) est tangente en A à la courbeΓ. La courbeΓadmet pour asymptote verticale l’axe des ordonnées. 5

4 T 4 3 3 2 2 Γ 1 1 −→  0 4 3 2 1 0 −→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −4−3−2−1 ı 1 2 3 4 5 6 7 8 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 1.Déterminer graphiquement :  a.limg(x)b.g(1)c.g(1). x→0 2.On admet que, pour tout réel de l’intervalle ]0 ;+∞], a b g(x)=lnx+ +, oùaetbsont deux nombres réels. 2 x x  a.Exprimerg(1) etg(1) en fonction deaetb. b.Détermineraetben utilisant les résultats précédents. 2 1 3.On suppose quegest définie sur ]0 ;+∞] parg(x)=lnx+ −. 2 x x a.Montrer que l’équationg(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’in tervalle [0,2 ; 0,8] ; déterminer un encadrement deαd’amplitude 0,01 et −2 en déduire une valeur approchée deαprès par excès.à 10 b.En déduire, en utilisant le sens de variations deg, le signe deg(x) sur ]0 ;+∞].

Partie B : Étude d’une fonction Soitfla fonction définie sur ]0 ;+∞] par   1 x f(x)=e lnx+. x On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans le plan muni d’un re   −→−→ père orthonormalO,ı,. 1. a.Déterminer la limite defen+∞.

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b.Vérifier que l’on peut écrire, pour toutx, appartenant à l’intervalle ]0 ;+∞], x e f(x)=(xlnx+1). x c.En déduire la limite defen 0 (on admettra que limxlnx=0). x→0  2. a.Déterminer la fonction dérivéefde la fonctionfet vérifier que, pour x tout réelxde l’intervalle ]0 ;+∞[,f(x)=g(x)e . b.En utilisant le signe degobtenu précédemment, étudier le sens de va riations defsur ]0 ;+∞[. 3. a.Déterminer une équation de la tangenteΔà la courbeCau point d’abs cisse 1. b.Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbeC. Sur cette tigure, tracer la droiteΔ.

Partie C : Calcul d’une aire 1.On noteaun nombre réel tel que 0<a<1.

a.Montrer que la fonctionh, définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par x h(x)=e lnxest une primitive de la fonctionfsur ]0 ;+∞[.  1 a b.En déduire quef(x) dx= −e lna. a 2.Ddésigne la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbeCet 1 les droites d’équationsx=etx=1. 2 a.Sur la feuille annexe, hachurer le domaineD. b.Calculer la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d’aire, de l’aire deD.

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Feuille annexe

8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 −→  0 6 5 4 3 2 1 0 −→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −6−5−4−3−2−1 ı 1 2 3 4 5 6 7 8 1 −1

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