Baccalauréat STI Métropole septembre Génie mécanique B C D E des matériaux

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2002 \ Génie mécanique B, C, D, E, des matériaux EXERCICE 1 5 points On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . On considère les deux nombres complexes : z1 = 2 p 3+2i et z2 = 2 p 2?2i p 2. 1. Donner le module et un argument des deux nombres com- plexes z1 et z2. En déduire le module et un argument de z1 z2 . 2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) , d'unité graphique 1 cm. Utiliser les résultats obtenus dans la question 1, pour placer les points A et B d'affixes respectives z1 et z2 en faisant apparaître les traits de construction. 3. Vérifier que z1 z2 = p 6? p 2 4 + i p 6+ p 2 4 . En comparant les formes algébrique et trigonométrique de z1 z2 donner les valeurs exactes de cos ( 5π 12 ) et de sin ( 5π 12 ) 4. Soit C le point d'affixe z3 = 4 z1 z2 . Placer le point C sur la figure faite à la question 1. 5. Montrer que les trois points A, B et C sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

• z1 z2


• point d'affixe z3


• axe des abscisses


• calcul de l'aire de la région


• aire de la région


• argument π

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2002
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2002\ Génie mécanique B, C, D, E, des matériaux

E X E R C IC E 1 π On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 On considère les deux nombres complexes : p z 1 =2 3+2i etz 2 =2 2−2i 2.

5 points

1.Donner le module et un argument des deux nombres com plexesz 1 etz 2 . En z 1 déduire le module et un argument de. z 2 ¡ ¢ −→−→ 2.Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormalO,u,v, d’unité graphique 1 cm. Utiliser les résultats obtenus dans la question 1, pour placer les points A et B d’affixes respectivesz 1 etz 2 en faisant apparaître les traits de construction. p pp p z 1 6−2 6+2 3.Vérifier que= +En comparant les formes algébrique eti . z 2 4 4 µ ¶µ ¶ z 1 5π5π trigonométrique dedonner les valeurs exactes de coset de sin z 2 12 12 z 1 4.Soit C le point d’affixez 3 =4 .Placer le point C sur la figure faite à la question z 2 1. 5.Montrer que les trois points A, B et C sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

E X E R C IC E 2 On considère l’équation différentielle

4 points

′′ 4y+9y=0 (E) oùydésigne une fonction numérique de la variable réellex, deux fois dérivable, et ′′ ysa fonction dérivée seconde. 1.Soitgla fonction numérique définie, pour tout nombre réelx, par :g(x)= µ ¶ 3xπ 2 cos+. 2 6 Vérifier quegest une solution particulière de (E). 2.Résoudre l’équation différentielle (E). 3.Déterminer la solution particulièrefde (E) telle que :f(π)=1 et µ ¶ 5π ′ ′ f=0,fdésignant la fonction dérivée def. 9 4.Montrer quef=g.

P R O B L È M E 11 points Le but du problème est de déterminer la valeur exacte de l’aire de la région grisée sur la figure en annexe. Cette région est limitée par l’axe des ordonnées et deux mor ceaux de courbes symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

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Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante. On considère la fonctionfdéfinie, pour tout nombre réelx, par

A. P. M. E. P.

x 4−e f(x)=. x 1+e SoitCla courbe représentative defdans le plan rapporte à un repère orthonormal ¡ ¢ −→−→ O,ı,, d’unité graphique 2 cm. La courbeCest représentée sur la figure en annexe.

Partie A : étude de la fonctionf

1.Déterminer la limite defen−∞. Que peuton en déduire graphiquement pourC? 2.Déterminer la limite defen+∞. (On pourra vérifier que, pour tout nombre −x 4e−1 réelx, on af(x)=. Que peuton déduire graphiquement pourC? −x e+1 ′ ′ 3.Déterminer, pour tout nombre réelx,f(x) oùfdésigne la fonction dérivée ′ def. étudier le signe def. En déduire le tableau de variations defsur l’en semble des nombres réels , 4. a.Déterminer les coordonnées du point d’intersection A deCavec l’axe des ordonnées. x b.Résoudre dansRl’équation 4−e=0. En déduire queCcoupe l’axe des abscisses en un point B dont on déterminera les coordonnées. 5.Montrer que, pour rout nombre réelxde l’intervalle [0 ;on a2 ln 2],f(x)Ê0. 6.ePlacer les points A et B, puis tracer les droites asymptotes dCsur la figure en annexe à joindre à la copie.

Partie B : calcul de l’aire de la région grisée

1.Montrer que la fonction numériqueFdéfinie, pour tout nombre réelx, par x F(x)=4x−5 ln (e+1) est une primitive defsurR. 2.Déterminer la valeur exacte, en unités d’aires, de l’aire de la région du plan limitée par la courbeC, les deux axes du repère et la droite d’équationx= 2 ln 2. 2 En déduire la valeur exacte, en cm, de l’aire de la région grisée, puis sa valeur 2 arrondie au mmprès.

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Annexe à rendre avec la copie

5

A. P. M. E. P.

4 4 3 3 2 2 1 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 11 2 3 4 5 -1 1 -2 2 -3 3

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