Baccalauréat STL Métropole juin Physique de laboratoire et de procédés industriels

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STL Métropole juin 2000 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels Durée : 4 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 5 points Leplan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (unité graphique 10 cm). Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d'affixe zn = ei 2pi3 · in où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 . (Par convention, pour n = 0, i0 = 1.) 1. Déterminer la forme algébrique ainsi que le module et un argument de cha- cun des nombres complexes z0, z1, z2 et z3. Placer dans le plan les points M0, M1, M2 et M3. 2. Exprimer zn+1 en fonction de zn . En déduire que Mn+1 est l'image de Mn , par une rotation r de centre O. Préciser une mesure de l'angle de cette rotation. 3. a. Exprimer un argument de zn en fonction de n. b. Déterminer les entiers naturels n tels que Mn soit confondu avec M0. 4. Pour tout entier naturel n, on note Qn , le point d'affixe ?n = ei 2pi3 · ( i 2 )n . (par convention, pour n = 0, ( i 2 )0 = 1). a. Montrer que pour tout entier naturel n, les points O, Mn , et Qn sont alignés.

• q2 etq3 dans le plan


• point d'affixe ?n


• vitesse égale


• axe des abscisses


• repère


• unique solution


• equation différentielle

Sujets

• Repère
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2000
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat STL Métropole juin 2000\ Physique de laboratoire et de procédés industriels

Durée : 4 heures

Coefficient : 4

E X E R C IC E 1 5points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (unité graphique 10 cm). 2π i n 3 Pour tout entier natureln, on noteM n le point d’affixez n =e∙i oùi désigne le π nombre complexe de module 1 et d’argument. (Par convention, pourn=0, 2 0 i=1.) 1.ment de chaDéterminer la forme algébrique ainsi que le module et un argu cun des nombres complexesz 0 ,z 1 ,z 2 etz 3 . Placer dans le plan les pointsM 0 ,M 1 ,M 2 etM 3 . 2.Exprimerz n+1 en fonction dez n . En déduire queM n+1 est l’image deM n , par une rotationrde centre O. Préciser une mesure de l’angle de cette rotation. 3. a.Exprimer un argument dez n en fonction den. b.Déterminer les entiers naturelsntels queM n soit confondu avecM 0 . µ ¶ n 2π i i 4.Pour tout entier natureln, on noteQ n , le point d’affixeω n =e∙. (par 3 2 µ ¶ 0 i convention, pourn=0,=1). 2 a.Montrer que pour tout entier natureln, les points O,M n , etQ n sont alignés. b.Placer les pointsQ 0 ,Q 1 ,Q 2 etQ 3 dans le plan.

E X E R C IC E points2 4 Les unités physiques utilisées sont le mètre (m) et le kilogramme (kg). Un mobile de masse 16 kg, guidé rectilignement sur un banc à coussin d’air, est attaché à un ressort dont la constante de raideur vautk=1. Si l’on écarte le centre d’inertie G du solide de sa position d’équilibre O, alors G ef fectue des oscillations autour de celleci. À l’instantt, la position de G est repérée par le pointMd’abscissef(t) dans le repère ¡ ¢ −→ O,ı.

G

O −→ ı

M f(t)

G

Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés indus triels

On admettra que la fonctionfest solution de l’équation différentielle :

A. P. M. E. P.

′′ (E) :16y+y=0. 1. a.Résoudre l’équation différentielle (E). b.On suppose qu’à l’instantt=0 le mobile est au point d’abscissef(0)= ′ −1 0, 5m et a une vitesse égale àf(0)=0, 125m.s . · ¸ 1t t Montrer que la fonctionfest définie parf(t)=cos+sin . 2 44 · ¸ 2 1 c.Vérifier que, pour tout réelt:f(t)=cos (t−π) . 2 4 p p 2 2 2.Montrer que pour tout réelt, on a :− 6 f(t) 6 . 2 2 3. a.Donner la valeur positivet 0 detpour laquelle le pointMse trouve pour la première fois en O. b.Combien de fois le pointMse trouvetil en O dans l’intervalle de temps [0 ; 35] ?

P R O B L È M E

Partie A

1.On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :

11 points

2 f(x)= −2 lnx+a x+b x, oùaetbsont deux nombres réels.

On appelleCla représentation graphique defdans le plan muni d’un repère ³ ´ −→−→ orthogonal O,u,vd’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. µ ¶ 13 Sachant que la courbeCpasse par le point A1 ;−et que le coefficient 2 directeur de la tangente en A est égal à−6, déterminer les valeurs des nombres aetb. 5 2 2.Pour la suite du problème, on prendraf(x)= −2 lnx+x−9x. 2 a.Déterminer la limite en 0 de la fonctionf. Que peuton en déduire pour la courbeC? b.Vérifier que l’on peut écrire : µ ¶ lnx5 9 2 f(x)=x−2+ −. 2 x2x En déduire la limite en+∞de la fonctionf.

Partie B

′ 1.On désigne parfla fonction dérivée defsur l’intervalle ]0 ;+∞[. ′ a.Calculerf(x). ′ b.Étudier le signe def(x). c.Dresser le tableau de variation de la fonctionfsur l’intervalle ]0 ;+∞[. 2. a.; 4], l’équationDémontrer que, dans l’intervalle [3f(x)=0 admet une unique solution, notéex 0 .

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Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés indus triels

A. P. M. E. P.

b.Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 0,01 de x 0 . 3.Déterminer une équation de la droite D tangente à la courbeCau point d’abs cisse 1. ³ ´ −→−→ 4.Tracer dans le repèreO,u,vla droite D et la courbeC.

Partie C

1.On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :

g(x)=xlnx−x. ′ Expliciter la dérivéegde la fonctiong. 2.Déduire de la question précédente une primitiveFde la fonctionfsur l’inter valle ]0 ;+∞[. 3.On appelleAla partie du plan située entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=x 0 etx=5 (x 0 est défini à la questionB. 2). a.Hachurer sur la figure la partieA. b.On désigne par A l’aire, en unités d’aire, de la partieA. Calculer A en fonction dex 0 puis calculer une valeur approchée de A en prenant 3,88 comme valeur approchée dex 0 .

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