Correction Baccalauréat STI Métropole juin Génie mécanique A et F énergétique civil

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Correction Baccalauréat STI Métropole juin 2001 \ Génie mécanique A et F, énergétique, civil \ EXERCICE 1 5 points zA = p 3+3i ; zB = 2 p 3 et zC = 2i. 1. Voir la figure plus bas. 2. Déterminons le module du nombre complexe zA : |zA| = √ (p 3 )2 +32 = p 12= 2 p 3 Déterminons un argument ? du nombre complexe zA : { p 3= 2 p 3cos? 3= 2 p 3sin? ?? { cos? = 12 sin? = 32p3 = p 32 2 p 3 = p 3 2 ? ? = pi 3 Ainsi, zA = [2 p 3, pi3 ] 3. a. AC = |zA? zC| = √ ( 0? p 3 )2 + (2?3)2 = p 3+1= 2 AB = |zB? zA| = √ ( 2 p 3? p 3 )2 + (3?0)2 = p 3+9= p 12 BC = |zB? zC| = √ ( 0?2 p 3 )2 + (2?0)2 = p 12+4= 4 Ainsi, BC2 =AB2+AC2, donc le triangle ABC est rectangle en A.

• sin?


• solution de l'équation différen- tielle


• e?x


• métropole


• baccalauréat sti


• ??

Sujets

• Metropole

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2001
• Nombre de lectures: 54
• Langue: Français

Extrait

[CorrectionBaccalauréatSTIMétropolejuin2001\
GéniemécaniqueAetF,énergétique,civil\
EXERCICE 1 5points
p p
z ? 3?3i; z ?2 3 et z ?2i.A B C
1. Voirlafigureplusbas.
2. Déterminonslemoduledunombrecomplexe z :A
r? ?p 2 p p
2jz j? 3 ?3 ? 12?2 3A
Déterminonsunargumentθdunombrecomplexe z :A
(? p p 1cosθ?3?2 3cosθ π2 p pp 2() )θ?3 3 3p p3?2 3sinθ sinθ? ? ? 3
22 3 2 3
p
πAinsi,z ?[2 3, ]A 3
3. a.
r? ?p 2 p
2AC?jz ?z j ? 0? 3 ?(2?3) ? 3?1?2A C
r
? ?p p p p2
2AB?jz ?z j ? 2 3? 3 ?(3?0) ? 3?9? 12B A
r
? ?p 2 p
2BC?jz ?z j ? 0?2 3 ?(2?0) ? 12?4?4B C
2 2 2Ainsi,BC ?AB ?AC ,doncletriangleABCestrectangleenA.
b. Comme ABC est rectangle en A, alors le centre K du cercle (Γ) circons-
crit au triangle ABC est le milieu de l’hypothénuse [BC], donc K a pour
coordonnées:
? !p
px ?x 2 3?0 y ?y 0?2B C B C
? ? 3; ? ?1 .
2 2 2 2
1 1Et,lerayonr dececercleest: BC? ?4?2.
2 2 p
Donc,(Γ)estlecercledecentreKd’affixez ? 3?ietderayonr?2.K
c. Comme: q
p p2 2OK?jz ?z j? 3 ?1 ? 4?2?rK O
Alors,lepointOappartientaucercle(Γ).
π?i 64. OnconsidèrelepointD,d’affixez ?2e .D
iθa. Commepardéfinition,e ?cosθ?isinθ,alors:
? !p? ? pπ π π 3 1?i
6z ?2e ?2 cos(? )?isin(? ) ?2 ?i ? 3?iD
6 6 2 2
b. Ainsi,lemilieuMdusegment[AD]apourcoordonnées
? !p p
px ?x 3? 3 y ?y 3?(?1)A D A D
? ? 3; ? ?1 .
2 2 2 2
p
Donc,Mapouraffixez ? 3?i?z ,doncMetKsontconfondus.M KBaccalauréatSTIGéniemécaniqueAetF,énergétique,civil A.P.M.E.P.
c. OnendéduitquelesdiagonalesduquadrilatèreABDContmêmemilieu
K,doncABDCestunparallélogramme;mais,commeilpossèdeunangle
droit(enA),c’estunrectangle.
4
A
3
C
2
K
1
B
?1 1 2 3 4
?1
D
?2
EXERCICE 2 4points
100 001. Comme4y ?y?0() y ? y?0,alorslessolutionsdel’équationdifféren-
4
00tielle:4y ?y?0sontlesfonctions:
? ? ? ?
1 1
y(x)? Acos x ?Bsin x , avecAetBdeuxconstantesréellles.
2 2
2. Ona: ? ? ? ?8 1 1f(x) ? Acos x ?Bsin x> 2 2 p<
f(π) ? 3
> 1: 0f (π) ? ? .
2
p
Ainsi, f(π)? 3devient:
? ? ? ?
p p1 1
Acos π ?Bsin π ? 3() B? 3.
2 2
| {z } | {z }
?0 ?1
Comme
? ? ? ?
1 1 1 10f (x)?? Asin x ? Bcos x .
2 2 2 2
1
0Alors, f (π)?? .devient:
2
? ? ? ?
11 1 1 1 1 1
? Asin π ? Bcos π ?? ()? A?? () A?1.
2 2 2 2 2 2 2
00Donclasolutionparticulière f del’équationdifférentielle4y ?y?0vérifiantp
0 1f(π)? 3et f (π)?? est2
? ? ? ?
p1 1
f(x)?cos x ? 3sin x .
2 2
Métropole 2 juin2001
bbbbbBaccalauréatSTIGéniemécaniqueAetF,énergétique,civil A.P.M.E.P.
3. Comme
? !
? ?x π x π x π
2cos ? ? 2 cos sin ?sin cos
2 3 2 3 2 3
? !p? ? ? ?x 1 x 3
? 2 cos ? ?sin ?
2 2 2 2
? ? ? ?
p1 1
? cos x ? 3sin x
2 2
? f(x)
? !
x π
Alors,pourtoutx réel: f(x)?2cos ? .
2 3
4. Résoudredansl’ensembledesnombresréels:
? ! ? !
x π x π 1 π
f(x)?1() 2cos ? ?1() cos ? ? ?cos .
2 3 2 3 2 3
Donc,
x π π
? ?? ?k?2π, aveck2Z.
2 3 3
C’estàdire:
πx π x π π
? ? ?k?2πou ? ?? ?k?2π.
2 3 3 2 3 3
Donc,
x 2π x
? ?k?2πou ?k?2π.
2 3 2
D’où:
4π
x? ?k?4πoux?k?4π.
3
4πAinsi,lessolutionsappartenantàl’intervalle[0; 4π[sont:0et .
3
Métropole 3 juin2001BaccalauréatSTIGéniemécaniqueAetF,énergétique,civil A.P.M.E.P.
PROBLÈME 11points
Soit f lafonctiondéfiniesur]?1;?1[par:
?xf(x)?3e ?2x?4.
PartieA:Constructiondelacourbereprésentativede f
?x1. a. Comme lim e ?0et lim 2x?4??1,alors:
x!?1 x!?1
lim f(x)??1.
x!?1
b. Comme:
? ??x x x ?x ?x x ?x xe 3?2xe ?4e ? 3e ?2xe ?e ?4e e
?x ?x?x ?x?x? 3e ?2xe ?4e
?x 0 0? 3e ?2xe ?4e
?x? 3e ?2x?1?4?1
?x? 3e ?2x?4
Ainsi,
? ?
?x x xf(x)?e 3?2xe ?4e .
x x x xComme lim e ?0et lim xe ?0,alors lim 3?2xe ?4e ?3.
x!?1 x!?1 x!?1
?xMais,cerésultatestàmultiplier par lim e ??1,donc:
x!?1
lim f(x)??1.
x!?1
c. Soit (C) la courbe représentative de f et soit (D) la droite d’équation :
y?2x?4.
Comme
?xlim f(x)?(2x?4)? lim 3e ?0
x!?1 x!?1
alors(D)estasymptoteà(C)en?1.
Deplus,
f(x)?2x?4 () f(x)?(2x?4)?0
?x
() 3e ?0
?x
() e ?0
() S?R
Donc,pourtoutréelx lacourbe(C)estau-dessusdeladroite(D).
?x2. a. Comme f(x)?3e ?2x?4,alors:
0 ?xf (x)??3e ?2
Et,
?x ?x?3e ?2?0 () 2?3e
2 ?x() ?e
3
2
() ln ??x
3
2
() ?ln ?x
3
Métropole 4 juin2001BaccalauréatSTIGéniemécaniqueAetF,énergétique,civil A.P.M.E.P.
b. Ainsiletableaudevariationde f est:
2x ?1 ?ln ?13
0signede f (x) ? 0 ?
?1 ?1
variationde f & %
2f(?ln )3
c. Une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0
est:
0 0 0y? f (0)(x?0)?f(0)?(?3 e ?2)x?3e ?2?0?4??x1|{z}
?1
d. Surl’intervalle[?2; 5],ona:.
2x ?2 ?ln 5
3
0signede f (x) - 0 +
f(?2) f(5)
variationde f & %
2f(?ln )
3
Alorsleminimumest:
? ? ? ? 1ln2 2 2 2 1 2 9 22?ln 3 3f ?ln ?3e ?2? ?ln ?4?3e ?2ln ?4?3 ?2ln ?4? ?2ln ?4.
23 3 3 3 2 3
3
2 2Etlemaximumest f(?2)?3e ?4?4?3e ?8.
3. Tracéde(C),(D)et(T):
5
4
3
2
1
?3 ?2 ?1 1 2 3 4 5
?1
?2
PartieB:Calculd’uneaire
1. Uneprimitivede f sur]?1;?1[est:
?x 2F(x)??3e ?x ?4x.
2. a. Surl’intervalle[1;2],ona:
Métropole 5 juin2001BaccalauréatSTIGéniemécaniqueAetF,énergétique,civil A.P.M.E.P.
x 1 2
f(2)?0
variationde f %
f(1)?0
Ainsi,d’aprèsletableaudevariationde f sur[1;2](quirésumedérivabi-
litéetstrictecroissance),l’équation f(x)?0admetsur]1;2[uneunique
solutionα.
Deplus,
x 1,6 1,7 1,8 1,9
f(x) -0,194 -0,051 0,096 0,248
Donc,unevaleurapprochée(pardéfaut)audixièmeprèsdeαest1,8.
b. Ainsi,nousavons:
x 1 α ?1
%
variationde f 0
%
signede f(x) ? 0 ?
Donc,surl’intervalle]α;?1[, f(x)?0.
c. Comme f estpositive sur ]α;?1[,l’aire dudomaine planlimité par la
courbe(C),l’axedesabscissesetlesdroitesd’équation x?αetx?4est
enunitéd’aire:
Z4
A? f(x)dx?F(4)?F(α)?4,4u.a.
α
Maisl’unitégraphiqueestde2cmsurl’axedesabscisses,etde1cmsur
l’axedesordonnées,donc:
2 21u.a?2?1cm ?2cm
2Ainsi,encm ,l’airevaut:
2
A?4,4?2?8,8cm
Métropole 6 juin2001