Correction du baccalauréat S Polynésie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Correction du baccalauréat S Polynésie \ 10 juin 2011 Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats. 1. Méthode 1 : Le dessin suggère de considérer la rotation de centre A et d'angle pi2 . Son écriture com- plexe est : z ?? zA = i (z ? zA) ?? z ??2+5i= i (z ?2+5i). L'image B? du point B dans cette rotation a donc pour affixe : zB? ?2+5i= i (7?3i?2+5i) ?? zB? = 2?5i+5i?2= 0. L'image de B dans la rotation de centre A et d'angle pi2 est le point O. Ceci démontre que le triangle ABO est isocèle et rectangle en A. -2 -4 -6 2 4 6 b b b O A B Méthode 2 : OA2 = |zA|2 = 22+52 = 29 ; AB2 = |zB? zA|2 = |7?3i?2+5i|2 = |5+2i|2 = 25+4= 29 ; OB2 = |zB|2 = |7?3i|2 = 72+32 = 49+9= 58. D'une part AO2 =AB2 ?? AO=AB ?? ABO est isocèle en A ; D'autre part 29+29 = 58 ?? AO2 +Ab2 = OB2 ?? ABO est rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

• réel


• ?7 ??


• lnx


• réciproque du théorème de pythagore


• lnx0


• ?? x4


• points enseignement obligatoire


• ?? ao2

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2011
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

[CorrectiondubaccalauréatSPolynésie\
10juin2011
Exercice1 5points
Communàtouslescandidats.
Méthode1:
Le dessin suggère de considérer la rotation
π Ode centre A et d’angle . Son écriture com-
2
0 0plexeest:z ?z ?i z?z () z ?2?5i?( )A A 2 4 6
i z?2?5i .( )
0 -2L’image B du point B dans cette rotation a B1.
doncpouraffixe:
z 0?2?5i?i(7?3i?2?5i) () -4B
z 0?2?5i?5i?2?0.B
AL’image de B dans la rotation de centre A et
-6πd’angle est le point O. Ceci démontre que
2
letriangleABOestisocèleetrectangleenA.
2 2 2 2Méthode2:OA ?jz j ?2 ?5 ?29;A
2 2 2 2AB ?jz ?z j ?j7?3i?2?5ij ?j5?2ij ?25?4?29;B A
2 2 2 2 2OB ?jz j ?j7?3ij ?7 ?3 ?49?9?58.B
2 2D’unepartAO ?AB () AO?AB () ABOestisocèleenA;
22 2D’autre part29?29?58 () AO ?Ab ?OB () ABO est rectangle en A
d’aprèslaréciproqueduthéorèmedePythagore.
Méthode3:
z ?z ?2?5i i(2i?5)O A
Soit Z? ? ? ?i.
z ?z 5?2i 2i?5B A
AO
Ona Z? ?1,soitAO=AB;
AB ? ??! ?! π ?De plus arg(Z)? AB,AO ? ce qui montre que l’angle BAO est droit. Le2
triangleABOestdoncrectangleisocèleenA.
Méthode4:
z ?z z ?zO A O A
? ?isignifiequeOestl’imagedeBdanslarotationdecentre
z ?z z ?zB A B A
πAetd’angle .
2
2. SoientAetBlespointsd’affixesrespectivesiet?2i.
On ajz?ij?jz?2ij () AM = BM () M 2Δ médiatrice de [AB]. mais
comme A et B appartiennent à l’axe des ordonnées, la médiatrice de [AB]
1(d’équation y?? estparallèleàl’axedesabscisses.Lapropositionestvraie.
2
p ? p ? p223. z?3?i 3,doncjzj ?9?3?12? 2 3 )jzj?2 3.Onpeutenfacorisant
cemoduleécrire:? !p
p p ? ? p3 1 ππ π i
6z?2 3 ?i ?2 3 cos ?isin ?2 3e .6 62 2
? ?3np ? p ? ? p ?π 3nπ nπ nπ3n 3n3n i i i i6 6 2 2Donc, pour n2N, z ? 2 3e ? 2 3 e ? 2 3 e . Or e
est égal à i,?1,?i ou 1 suivant les valeurs de n et la puissance n’est donc un
nombreimaginairequepourn impair.Lapropositionestfausse.
π4. Soitz unnombrecomplexenonnuld’argument .Onpeutdoncécrirez?ρi
2
avecρréelpositifnonnul.
bbbCorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
Doncji?zj?1?jzj () ji?ρij?1?jρij () ji(1?ρ)j?1?jρij () 1?ρ?1?ρ
quiestbienvraie.
Laproposition4estvraie.
5. Soitz unnombrecomplexenonnul.
iθSilemoduledez estégalà1alorsz s’écritz?e ,avecθ2R.
1 12 2iθ 2iθ ?2iθDonc z ? ?e ? ?e ?e ?cos2θ?isin2θ?cos2θ?isin2θ?
2 2iθz e
2cos2θ quiestunréel.
Exercice2 5points
Enseignementobligatoire
1. Onal’arbrepondérésuivant:
0,8
G2
G0,1 1
G20,2
0,6 G2
0,9 G1
G20,4
? ? ? ?
2. Onap ?p(G \G )?p G \G ?p(G )?p (G )?p G ?p (G )?2 1 2 1 2 1 G 2 1 21 (G )1
0,1?0,8?0,9?0,6?0,08?0,54?0,62.
? ?
? ? p G \G1 2 0,54 27
3. Ilfauttrouverp G ? ? ? .G 12 p(G ) 0,62 312
4. Laprobabilitéquelejoueurnegagneaucunedestroispartiesestégaleà0,9?
0,4?0,4?0,144.
Laprobabilitéqu’ilgagneaumoinsunepartieestdoncégaleà
1?0,144?0,856.
5. Àlapartien,onal’arbresuivant:
0,8 Gn?1
Gp nn
Gn?10,2
0,6
Gn?1
G1?pn n
Gn?10,4
? ? ? ?
Onadoncp ?p(G \G )?p G \G ?p(G )?p (G )?p G ?n?1 n n?1 n n?1 n G n?1 nn? ?
p (G )? p ?0,8? 1?p ?0,6? 0,8p ?0,6?0,6p ? 0,2p ?0,6?n?1 n n n n nGn
1 3
p ? .n
5 5
? ?13 13 1 3 13 15?13 2 1
6. InitialisationOnabien ? ? ? ? ? ? ?0,1?p .1
4 4 5 4 20 20 20 10
Hérédité ? ?a3 13 1
Supposonsqu’ilexiste a2N,a?1telquep ? ? .a
4 4 5
Polynésie 2 10juin2011CorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
D’aprèslaformuledémontréeàlaquestion4:
? ? ? ? ? ?a a?11 3 1 3 13 1 3 3 1 3 13 1 3 12
p ? p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a?1 a
5 5 5 4 4 5 5 5 4 5 4 5 20 20? ? ? ?a?1 a?113 1 3 13 1
? ? .Lapropriétéestvraieauranga?1.
4 5 4 4 5
? ?n3 13 1?Onadoncdémontréparrécurrencequepourn2N ,u ? ? .n
4 4 5
? ?n1 1 3
7. Comme?1? ?1,ona lim ?0,donc lim u ? ?0,75.n
n!?1 n!?15 5 4
? ? ? ? ? ?n n3 3 3 13 1 13 1?7 ?7 ?78. Ona: ?p ?10 () ? ? ?10 () ?10 ()n
4 4 4 4 5 4 5? ?n1 4 ?7? ?10 () (par croissance de la fonction logarithme népérien)
5 13 ? ?
?74?10? ? ? ? ln1 ?7 134?10 ? ?nln ?ln () n? .13 15
ln
5? ?
?74?10ln 13
? ?Or ?10,7.
1
ln
5
3 ?7Doncu approchelalimite àmoinsde10 .11
4
Exercice2 5points
Enseignementdespécialité
1. u ?10u ?21oru ?1doncu ?10?1?21?31;1 0 0 1
u ?10u ?21?10?31?21?331;2 1
u ?10u ?21?10?31?21?3331.3 2
2. a.
0?1? Initialisation 10 ?7? 10?7? 3? 3?1? 3u donc on a bien la0
propriétévraieaurang0.
n?1? Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n, 3u ?10 ?7n
alors
n?1 (n?1)?13u ?3(10u ?21)?10?(3u )?63?10(10 ?7)?63?10 ?n?1 n n
70?63?
(n?1)?110 ?7
Lapropriétéestdoncbienhéréditaire.
? La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, elle est donc
n?1vraiepourtoutnatureln :3u ?10 ?7.n
n?1 k?n k?n10 ?1 P Pk kb. Pour tout naturel n, ? 10 donc 3u ? 9?10 ?6?n
10?1 k?0 k?0
k?n k?n k?nP P Pk k k9?10 ?10?6? 9?10 ?3?99...93etdoncu ? 3?10 ?1?n
k?1 k?1 k?1
33...3 1avecn chiffres3.|{z}
nchiffres
p
3. u ?331 avec 331?18,2 or 331 n’est divisible ni par 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17 :2
lesnombrespremiersinférieursouégauxà18.u estdoncpremier.2
4. D’après2.a.,pourtoutnatureln,u ?33...31 avecn chiffres3n
? Lechiffredesunitésdeu est1,impair,donc2nedivisepasu .n n
Polynésie 3 10juin2011CorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
? Lasommedeseschiffresest3?3?...?3?1?1(modulo3)donc3nedivise
pasu .n
? Lechiffredesunitésdeu est1,différentde0et5,donc5nedivisepasu .n n
a. 10??1?11et?7?4?11donc10??1et?7?4(modulo11),
n?1 n?1 1 n ndonc3u ?10 ?7?(?1) ?4?(?1) (?1) ?4?4?(?1) (modulon
11)
b. Si u était divisible par 11 alors 3u le serait a fortiori, or pour n pairn n
3u ?4?1?3(modulo11)etpourn impair3u ?4?(?1)?5(modulon n
11)donc11nedivisepasu .n
5. a. 17estunnombrepremierquinedivisepas16doncd’aprèslepetitthéo-
16rèmedeFermat,10 ?1(modulo17).
? ?k16k?9 1 9 k 9b. Pourtoutnaturelk,3u ?10 ?7? 10 6 ?10 ?7?1 ?10 ?716k?8
2(modulo17).Or6?17?102donc10 ??2(modulo17)donc
? ?49 2 410 ?10? 10 ?10(?2) ?10?16?10(?1)??10etdonc
3u ??10?7??17?0 (modulo 17) donc 17 divise 3u . Or 1716k?8 16k?8
estpremieravec3etd’aprèslethéorèmedeGauss,17diviseu .16k?8
Exercice3 5points
Enseignementobligatoire
PartieA:RestitutionorganiséedeconnaissancesOn supposera connus les résul-
tatssuivants:
0 0Démonstrationclassique baséesurl’intégraledelafonctioncontinue(uv) ?u v?
0uv .
PartieB
2
1. a. lim x ??1et lim lnx??1entraînent lim f(x)??1
x!?1 x!?1 x!?1
b. f produitdefonctionsdérivablessur]0;?1[estdérivablesurcetinter-
valleet
10 2f (x)?2xlnx?x ? ?2xlnx?x?x(2lnx?1).
x
0Orx?0,donclesignede f (x)estceluide2lnx?1et:
1
2lnx?1?0 () lnx?? () (parcroissancedelafonctionexponen-
2
1?
2tielle)x?e . i h
1?2Donc f estcroissantesur e ;?1 .
1
Demême2lnx?1?0 () lnx?? () (parcroissancedelafonction
2
1?
2exponentielle)x?e .
i h
1?
2Donc f estdécroissantesur 0; e .
1 1 1?2Rem. Onpeutécriree ? ? .p1
e2e
? ?
22. Uneéquationdelatangente(T )à(C)enunpointdecoordonnées x ; x lnxx 0 00 0
est:
? ?
2 0M(X ; Y)2(T ) () Y ? x lnx ? f (x )(X?x ).x 0 0 00 0 ? ?
2En particulier O(0 ; 0)2(T ) () 0? x lnx ? x (2lnx ?1)(0?x ) ()x 0 0 0 00 0
2 2 2 2 2 2?x lnx ??2x lnx ?x () x ?x lnx ? 0 () x (1?lnx )? 0 ()0 0 0 00 0 0 0 0 0
1?lnx ?0,carlasolution x ?0n’estpaspossible.0 0
1
?1Finalement:1?lnx ?0 () lnx ??1 () x ?e ? .0 0 0
e
Polynésie 4 10juin2011CorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
Ilexiste donc unetangente unique (T ?1)àla courbe(C)passant par O.Unee
deseséquationsest:
1
M(x ; y)2(T ?1) () Y ?? X.e e
5x
3. a. Soitg lafonctiondéfiniesur]0;?1[parg(x)? (5lnx?1).Cettefonc-
25
tionproduitdefonctions dérivablessur]0; ?1[estdérivableetsur cet
intervalle:
4 5 4 45x x 5 x x0 4 4g (x)? (5lnx?1)? ? ?x lnx? ? ?x lnx.
25 25 x 5 5
4Conclusionlafonctiong estuneprimitivedelafonctionx7?!x lnx sur
]0;?1[.
Z Z1 1
2 2 4b. OnaV ? π[x lnx] dx? πx lnx?lnxdx.
1 1
e e 8 5x>? <0 4 u(x) ? (5lnx?1)u (x) ? x lnx 25Soient d’où
1v(x) ? lnx >: 0v (x) ?
x
04. Onadoncenintégrantparpartiespuisquetouteslesfonctionsu(x),u (x),v(x)
0etv (x)sontcontinuessur]0;?1[:
? ?1 Z5 51 ? ?x x 1 1 15V ?π (5lnx?1)?lnx ? (5lnx?1)? dx?π x (5lnx?1)?lnx ?1
11 e25 25 x 25
ee ? ? ?? ? ?Z Z 151 1 1 6 1 5x 14 4 5
π 5x lnxdx?π 5x dx?π 0? ?π (5lnx?1)? x ?51 1 125 e 25 25 5
e e e? ? ? ? ? ? ? ? ??
6π π 1 1 1 1 1 6π π 2 7
5? ? (5ln1?1)? ? 5ln ?1 ? ?? ? ? ? ? e ?
5 5 5 525e 25 5 5 5e e 5e 25e 25 5 5? ?
2π 37π π 37
? ? 2? .
5 5125 125e 125 e
Exercice4 5points
Enseignementobligatoire
PartieA
?! ?! !? ?! ?!
1. Comme1?26?0,Kexisteetestdéfinipar1KD ?2KF ? 0 () 3KD ?2DF ?
!? ?! ?! ?! 2?!
0 () 3DK ?2DF () DK ? DF
3
CommeD(0;0;0)etF(1; 1; 1),l’égalitéprécédentedonne:
2 2
x ? (1)?K
3 3
2 2
y ? (1)?K