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Corrigé Bac ES 2017 - Mathématiques spécialités

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Extrait du corrigé :
Exercice 2 : pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité (5 points)
Partie A
1. P 1 = ( 1 0) .
2. 0,15

A B avec 0,85 sur la boucle en A et 0,9 sur la boucle en B.

0,1
3. M = 
0,85 0,15
0,1 0,9 
On calcule P2 = P1 * M = ( 0, 85 0,15 )
4. On a Pn + 1 = ( a n + 1 b n + 1 ) Pn * M = ( an bn ) 0,85 0,15
0,1 0,9 
= ( 0,85an + 0,1bn 0,15an + 0,9bn)
ce qui signifie que a n + 1 = 0,85an + 0,1bn = 0,85an + 0,1(1 - an) = 0,75an + 0,1
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BaccalauréatES
Session 2017
Épreuve :Mathématiques spécialité
Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient : 7
PROPOSITION DE CORRIGÉ
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1
Exercice 1 (6 points) 1) a. La probabilité qu’un client attende au moins 5 min est : P (T15) = 7/120,583b. Le temps d’attente moyen est E(T1) = (0+12) / 2 =6 min.2. La probabilité que le temps d’attente soit compris entre 0,75 et 6 min est : P (0,75T26)0,745(avec NormalFrép ou NormCd suivant la calculatrice utilisée) 3. a) X suit une loi binomiale. Les paramètres sont p = 0,1 et n = 10. b) La probabilité qu’aucune caisse automatique ne tombe en panne est : 10 10 P ( X = 0 ) = (1 – 0,1) = 0,90,349.4. L’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% est en appliquant la formule du cours avec p = 0,9 (90% ) et n = 860 : I0,921].[0,879 ; La fréquence observée f = 763/8600,887 est bien dans l’intervalle, ce qui ne permet pas de rejeter l’affirmation du gérant, bien qu’elle soit inférieure aux 90% annoncés. Exercice 2 : pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité (5 points) Partie A
1. P1= ( 1 0) .
2. 0,15
 A B avec 0,85 sur la boucle en A et 0,9 sur la boucle en B.  0,1
0,85 3. M =0,1
0,15 0,9
On calcule P2= P1* M = ( 0, 85 0,15 )
0,85 4. On a Pn + 1= ( an + 1 bn + 1)Pn* M = ( an bn)0,1
 = ( 0,85an + 0,1bn 0,15an + 0,9bn)
0,15 0,9
 ce qui signifie que an + 1 = 0,85an + 0,1bn = 0,85an + 0,1(1 - an)= 0,75an + 0,1
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5. a) Vn + 1= an + 1– 0,4 = 0,75 an+ 0,1 - 0,4 = 0,75 an- 0,3 = 0,75 ( an) = 0,75 V- 0,4 n er La suite (Vn) est donc géométrique de raison 0,75 et de 1 terme V1= a1–.0,4 = 1 – 0,4 = 0,6. er b) Avec la formule pourune suite géométrique de raison 0,75 et de 1 terme 0,6 on a : n - 1 n - 1 n - 1 n  Vn= V1* 0,75 = 0,8*0,75 *0,75 = 0,6 *0,75 = 0,8*0,75 n On en déduit que an = Vn + 0,4+ 0,4= 0,8*0,75
n c) Comme 0 < 0,75 < 1 , le terme 0,75 tend vers 0 quand n tend vers +.
Donc la suite (Vn ) a pour limite 0 et la suite (an ) a pour limite 0,4.
d) On conclut que au bout d’un certain temps, le joueur aura plus d’énigmes difficiles au fur et à mesure qu’il avance dans le jeu.
En effet, pour n assez grand, on aura an < 0,5 puisque la suite (an ) a pour limite 0,4.
Partie B
En utilisant l’algorithme de Dijkstra : A B C D E F G Sommet selectionné 0 A ***** 2A 6A 10A B ***** ***** 5B 10A 17B C ***** ***** *****9C14C 17B D ***** ***** ***** *****12D 17B E ***** ***** ***** ***** ***** 14E16EF ***** ***** ***** ***** ***** *****16E G On trouve pour chemin minimum lechemin ABCDEG, de poids 16, ce qui correspond pour le joueur à un temps de parcours minimum de16 minutes.
Exercice 3 (6 points)
3x 1. f ‘ est du signe de – 3x + 2 car e > 0
On a le tableau de variations suivant:  x 0 2/3 1 Signe de + 0 -– 3x + 2
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3
f ‘(x)
f (x)
2 / 3  e  ↗ ↘ 1 0
3x 3x 3x 2. On calcule f ‘’ (x) = - 3 e + 3 (- 3x + 2) e = (- 9x + 3) e Alors f ‘‘ est du signe de – 9x + 3 :
 x Signe de – 9x + 3f ‘‘(x)
0 1/3 1  + 0 -
1 Ainsif admet un point d’inflexion en x = 1 / 3 où f (1/ 3) = ( 2 / 3 ) e.
Doncce point a pour coordonnées (1 / 3 ; 2e / 3).
Partie B
1. f ( 1 ) = 0 et g (1) = 0 ; donc A(1 ; 0) appartient bien aux deux courbes.
De même, f ( 0 ) = 1 et g (0) = 1, donc B(0 ; 1) appartient bien aux deux courbes.
3x 3x 0 2. a) e – 10 équivaut à e1 = e soit 3x0 i.e. x0, c’est donc bien le cas sur l’intervalle [0 ;1].
3x 3x b) Comme x0, alors e – 1 + xe – 10.
3x c) Sur [0 ;1], on a 1 – x0 et e – 1 + x0 d’après b).
Donc par produit on a f (x) – g (x)0 pour tout x dans [0 ;1].
3 3. a) g(x) dx= G où G(x) = x / 3 – x ² + x est une primitive de g.(1) - G (0)
 = 1/ 3 – 1 +1 = 1/3
  3 b) L’aire cherchée est (f(x) − g(x)) dx = f(x) dx - g(x) dx– 4 ) / 9 – 1 /3 = (e  
3  = (e – 7 ) / 91,5 u.a.
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Exercice 4: (3 points)
1. P (X = 1 ) = (ln2 – ln 1) / ln 10 = ln 2 / ln 10 0, 3012. a) L’intervalle de fluctuation pour p = ln 2 / ln 10 et n = 36 677 est [0,296 ; 0,306] On constate que la fréquence observée 11 094 / 36 677à l’intervalle de0,302 appartient fluctuation, cette observation estcompatible avec l’affirmation. b) Ici on aurait P (X = 1 )1 (car c’est quasi-sûr d’avoir un élève dont sa taille en cm commence par un 1, puisqu’il est très rare d’en avoir mesurant plus de 2m ou moins d’1m !)
La loi de Benford n’est donc pas du tout adaptée dans ce cas pour X.
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