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Corrigé de l'épreuve de Mathématiques Spécialité BAC S

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Téléchargez le corrigé de l'épreuve de Mathématiques spécialité du BAC S de l'année 2014.

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Ajouté le : 23 septembre 2014
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Bac S 2014

Métropole, Exercice spé

Exercice 4
1. Au bout de la première année, les 100 poissons deBsont vendus et apportent 200 poissons
enA, qui reçoit aussi les 200 annuels d’oùa1=200+200=400.Breçoit les 200 qu’avaitA
plus les 100 annuels d’oùb1=200+100=300.
Si(a, b)sont les effectifs une année, l’année suivante ce sera(2b+200, a+100):. Ainsi
•(a0, b0) = (200,100)
•(a1, b1) = (400,300)
•(a2, b2) = (800,500)
2. a) C’est la version matricielle de ce qui vient d’être dit. En effet, :
! " ! " ! " ! "
xn2yn2002yn+200
A+B= + =
ynxn100xn+100
b) On cherche les points fixes. Pour cela on doit résoudre :
#
! " ! "
x x x= 2y+200
=A+B⇔
y y y=x+100
#
0 =y+300(on a faitL1+L2)

−x=400(on a faitL1+ 2L2)
#
! "
x0y0=−300
Si j’appelle la solution, j’ai donc : .
y0x0=−400
! " ! " ! " ! "
x0x0x0x0
c)Yn=Xn−doncA Yn=A Xn−A=A Xn−+B=Xn+1−=Yn+1.
y0y0y0y0
$ % $ % $ %
2 2 2 0 2 0 2 2 0
3. a)Zn+1=Y2n+2=A Y2n=A Zn. Or,A=×2= = ×l’on noteId. (Si
1 0 1 0 0 2
Id la matrice identité). On a montré queZn+1= 2Zn.
n n
b) On a donc par récurrenceZn= 2Z0⇔Y2n= 2Y0.
n n n
Ensuite,Y2n+1=A Y2n=A×2Y0(= 2 A×Y0) = 2Y1.
! "
600
On remarque queY0=
400
On a alors :

!n"
600×2


Y2n=
n
400×2
!n",
800×2


Y2n+1=
n
600×2
de quoi l’on déduit :

!n"
a2n=600×2−400

X2n=
n
b2n=400×2−300
!n".
800×2−400
a2n+1=

X2n+1=n
b2n+1=600×2−300

4. a) L’algorithme affiche la valeur deapen fonction dep, et met cette valeur dans la variablea.
b) Il suffit d’écrire :
p=1, m=0
traiter tant que a<10000
| calculer le a donné par l’algorithme précédent
| incrémenter p et m de 1 unité
afficher m

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